Физтех 2025, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 10
Учитель математики договорился с пришедшими на кружок учениками, что они выберут, кто из них будет лжецом (всегда лгать), а кто — рыцарем (всегда говорить правду). После чего учитель раздал ученикам карточки с числами, причём числа на всех карточках различны. Ученики встали по кругу и посмотрели карточки соседей. После этого каждый из учеников сказал: «Число на моей карточке больше, чем у моих соседей». Какое наибольшее количество учеников могут сказать: «Число на моей карточке меньше, чем у моих соседей»?
Ответ
Ответ. .
Решение. Пусть и — ученики, которым достались карточки с самым большим и самым маленьким числами соответственно. Поскольку они оба сказали первую фразу, — рыцарь, а — лжец. Значит, они оба не могут сказать вторую фразу. Поэтому вторую фразу могут сказать не больше ученика.
Покажем, что ситуация, когда ученик сможет сказать вторую фразу, возможна. Пусть ученикам (по кругу) достались карточки с числами , , , , ; при этом карточка с числом досталась рыцарю, а остальные — лжецам. Тогда первую фразу могут сказать все, а вторую — все, кроме учеников с карточками и .