Ломоносов, 2022, 7-8 класс, задача 2

Сложная

Источник:

Олимпиада «Ломоносов», Отборочный этап, 2022, 7–8 классы

( баллов)

Первые натуральных чисел выписаны в ряд в некотором порядке. Вычисляют сумм стоящих подряд трех чисел из этого ряда. Какое максимальное количество из этих сумм может быть нечетным?

Ответ

Ответ: .

Решение. Если выписать троек в порядке нечет-чет-чет, а потом нечетных чисел, то нечетных сумм будет . Все суммы не могут быть нечетными, поскольку числа в ряду, номера которых имеют одинаковые остатки при делении на , тогда имели бы одинаковую четность, а в первой тройке должно стоять либо одно нечетное число (тогда четных чисел среди первых натуральных чисел не меньше ), либо три нечетных, тогда все числа нечетные.

Верный ответ

Максимум: 10

Похожие задачи

Ломоносов, 2023, 9 класс, задача 6

(15 баллов) Квадрат с белыми и жёлтыми клетками На плоскости имеются белые и жёлтые клетки. Каждая белая клетка либо скрывает конфету, либо пустая. В жёлтой клетке записано число конфет, которые скрываются за белыми клетками, удалёнными от данной не дальше, чем на 2 строки и 2 столбца. Из клеток сос

Сложная

Комбинаторика

Ломоносов, 2021, 7-8 класс, задача 7

(15 баллов) Внутри выпуклого 13-угольника расположено 200 точек так, что никакие 3 из этих 213 точек (включая вершины многоугольника) не лежат на одной прямой. Многоугольник разрезается на треугольники, вершины каждого — какие-нибудь три точки из данных 213 точек. Какое наибольшее число треугольнико

Сложная

Комбинаторика

Ломоносов, 2022, 9 класс, задача 2

(10 баллов) Первые 2023 натуральных чисел выписаны в ряд в некотором порядке. Вычисляют 2021 сумму стоящих подряд трех чисел из этого ряда. Какое максимальное количество из этих сумм может быть нечетным?

Сложная

Комбинаторика

Ломоносов, 2021, 7-8 класс, задача 5

(10 баллов) За круглым столом сидят 1001 человек, каждый из которых — рыцарь (всегда говорит правду) или лжец (всегда лжёт). Оказалось, что рядом с каждым рыцарем сидит ровно один лжец, а рядом с каждым лжецом найдётся рыцарь. Какое наименьшее количество рыцарей может сидеть за столом?

Сложная

Комбинаторика