Ломоносов, 2021, 7-8 класс, задача 5
( баллов)
За круглым столом сидят человек, каждый из которых — рыцарь (всегда говорит правду) или лжец (всегда лжёт). Оказалось, что рядом с каждым рыцарем сидит ровно один лжец, а рядом с каждым лжецом найдётся рыцарь. Какое наименьшее количество рыцарей может сидеть за столом?
Ответ
Ответ: .
Решение. Из условия следует, что рыцарь не может сидеть между двумя рыцарями или двумя лжецами, а лжец не может сидеть между двумя лжецами. Таким образом, при обходе вокруг стола рыцари будут встречаться нам по двое подряд, а лжецы — по одному или по двое подряд. Из этого следует, что каждому лжецу можно найти в пару по рыцарю (и после этого ещё останутся рыцари, не вошедшие ни в одну пару). Значит, рыцарей за столом больше половины от общего числа сидящих и к тому же чётное число, то есть хотя бы .
Пример рассадки рыцарей и лжецов, удовлетворяющий условию: сначала посадим групп вида «рыцарь, рыцарь, лжец, лжец», затем — ещё три группы вида «рыцарь, рыцарь, лжец».
Верный ответ