Ломоносов, 2021, 10-11 класс, задача 1
(10 баллов) Известно, что числа frac x2, 2x-3, (18/x) +1, взятые в указанном порядке, образуют геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель этой прогрессии. Ответ округлите до двух знаков после запятой.Ломоносов, 2021, 9 класс, задача 2; 10–11 классы, задача 2
(10 баллов) В то время, как на водопой отправился находящийся в 6 минутах от него один львёнок, второй, уже утолив жажду, по той же дороге направился обратно в 1,5 раза быстрее первого. В это же время по той же дороге на водопой отправилась черепаха, находившаяся в 32 минутах от него. Через какое-тоЛомоносов, 2021, 9 класс, задача 4; 10–11 классы, задача 3
(10 баллов) Маша плотно уложила 165 одинаковых шаров в виде правильной треугольной пирамиды. Сколько шаров лежит в основании?Ломоносов, 2021, 10-11 класс, задача 4
(10 баллов) В выпуклом четырёхугольнике длины диагоналей равны 5 и 4. Найдите сумму квадратов длин четырёх отрезков, соединяющих середины соседних сторон четырёхугольника.Ломоносов, 2021, 10-11 класс, задача 5
(10 баллов) Отрезки двух прямых, заключённые между двумя параллельными плоскостями, относятся как 5:9, а острые углы между этими прямыми и одной из плоскостей — соответственно как 2:1. Найдите косинус меньшего из углов.Ломоносов, 2021, 10-11 класс, задача 6
(10 баллов) Найдите наибольшее значение функции f(x)=(x/x2+9) +frac1{x2-6x+21}+cos2π x. Ответ округлите до двух знаков после запятой.Ломоносов, 2021, 9 класс, задача 7; 10–11 классы, задача 7
(10 баллов) Найдите все такие значения a, при каждом из которых уравнение x2+2ax=8a имеет два различных целых корня. В ответ запишите произведение всех таких a, при необходимости округлив до сотых.Ломоносов, 2021, 10-11 класс, задача 8
(10 баллов) Внутри выпуклого n-угольника расположено 100 точек так, что никакие три из этих n+100 точек не лежат на одной прямой. Многоугольник разрезается на треугольники, вершинами каждого из которых являются 3 из данных n+100 точек. При каком максиальном значении n не может получиться более 300 тЛомоносов, 2021, 10-11 класс, задача 9
(10 баллов) Дан многочлен P(x) степени 10 со старшим коэффициентом 1. График y=P(x) целиком лежит выше оси Ox. Многочлен -P(x) разложили на неприводимые множители (то есть такие многочлены, которые не могут быть представлены в виде произведения двух непостоянных многочленов). Известно, что при x=202Ломоносов, 2021, 10-11 класс, задача 10
(10 баллов) Множество A на плоскости Oxy задается уравнением x2+y2=2x+2y+23. Множество B на той же плоскости задается уравнением |x-1|+|y-1|=5. Множество C — пересечение множеств A и B. Какое наибольшее значение может принимать произведение длин n отрезков XY1 · XY
