Ломоносов, 2021, 10-11 класс, задача 4

Средняя

Источник:

Олимпиада «Ломоносов», Отборочный этап, 2021, 10–11 классы

( баллов)

В выпуклом четырёхугольнике длины диагоналей равны и . Найдите сумму квадратов длин четырёх отрезков, соединяющих середины соседних сторон четырёхугольника.

Ответ

Ответ: .

Решение. Каждый такой отрезок находится по теореме косинусов из треугольника, соединяющего три середины сторон четырехугольника. В нем две стороны равны половинкам диагоналей, а угол совпадает с углом между диагоналями или дополняет его до . При этом сумма квадратов длин отрезков на самом деле не зависит от угла между диагоналями.

Верный ответ

Максимум: 10

Похожие задачи

Ломоносов, 2023, 9 класс, задача 2

(10 баллов) Дан прямоугольник длины 6 и ширины 4. Вокруг него описан квадрат, т.е. нарисован квадрат такой, что разные вершины прямоугольника лежат на разных сторонах квадрата. Найти площадь квадрата.

Средняя

Планиметрия

Ломоносов, 2023, 9 класс, задача 4

(10 баллов) В треугольнике ABC стороны AB=84, AC=98, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC, а прямая BD перпендикулярна AO и пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

Средняя

Планиметрия

Ломоносов, 2022, 11 класс, задача 8

(10 баллов) В параллелограмме ABCD проведена биссектриса angle BAD, пересекающая прямую BC в точке K. В треугольник ABK вписана окружность. Найдите расстояние между точками касания этой окружностью сторон AB и BK, если AB=4, angle BAD=fracπ3. При необходимости округлите ответ до двух знаков после за

Средняя

Планиметрия

Ломоносов, 2020, 9 класс, задача 8

(12 баллов) В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. Найдите площадь треугольника, если известно, что AL=2, BL=3√(10) и CL=3.

Средняя

Планиметрия