Ломоносов, 2023, отборочный этап, 9 класс, задача 4

( баллов)

В треугольнике стороны , , точка — центр окружности, описанной около треугольника , а прямая перпендикулярна и пересекает сторону в точке . Найдите .

Ответ

Ответ:

Рисунок к решению геометрической задачи

Решение. Решим задачу в общем виде: пусть , , . Пусть — диаметр описанной окружности треугольника . Тогда , подобен , , значит, . Далее, подобен , , значит, . Тогда . Ответ: .

Верный ответ

Максимум: 10

Похожие задачи

Ломоносов, 2021, отборочный этап, 10-11 класс, задача 4

(10 баллов) В выпуклом четырёхугольнике длины диагоналей равны 5 и 4. Найдите сумму квадратов длин четырёх отрезков, соединяющих середины соседних сторон четырёхугольника.

Средняя

Планиметрия

Ломоносов, 2022, отборочный этап, 11 класс, задача 8

(10 баллов) В параллелограмме ABCD проведена биссектриса angle BAD, пересекающая прямую BC в точке K. В треугольник ABK вписана окружность. Найдите расстояние между точками касания этой окружностью сторон AB и BK, если AB=4, angle BAD=fracπ3. При необходимости округлите ответ до двух знаков после за

Средняя

Планиметрия

Ломоносов, 2024, отборочный этап, 10 класс, задача 8

(20 баллов) Вася нарисовал снеговика на новогоднем плакате. Снеговик состоит из трёх кругов, центры которых лежат на одной вертикальной прямой. Радиусы кругов (снизу вверх) равны 10, 7 и 5. Круги пересекаются под прямым углом, т. е. их касательные в точках пересечения перпендикулярны. На голове у сн

Средняя

Планиметрия

Ломоносов, 2020, отборочный этап, 9 класс, задача 8

(12 баллов) В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. Найдите площадь треугольника, если известно, что AL=2, BL=3√(10) и CL=3.

Средняя

Планиметрия