1. Олимпиады
  2. Ломоносов

Отборочный этап

11 класс

Отборочный этап

PDF
Задания, решения и критерии

Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 1; 11 класс, задача 1

(10 баллов) В магазине продают три вида ручек: по 14 рублей, по 15 рублей и по 16 рублей. Вася купил ручек ровно на 170 рублей. Сколькими способами это можно было сделать?
Средняя
Теория чисел

Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 2; 11 класс, задача 2

(10 баллов) Даны два натуральных числа. Большее из них равно квадрату их разности, а меньшее из них в 8 раз больше их наибольшего общего делителя. Найдите наименьшее общее кратное этих двух чисел.
Простая
Теория чисел

Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 3; 11 класс, задача 3

(10 баллов) Найти площадь выпуклого многоугольника, координаты вершин которого суть решения системы уравнений:
Простая
Алгебра

Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 4; 11 класс, задача 4

(10 баллов) Четыре купца Арсений, Богдан, Вакула и Гаврила получили из казны 50 золотых червонцев. Они их решили разделить так, чтобы каждому досталось нечётное количество червонцев. Сколько есть разных способов дележа?
Простая
Комбинаторика

Ломоносов, 2023, 11 класс, задача 5

(10 баллов) Сколько целочисленных решений у уравнения x2+(y2-20222)2=sin(2023(x3-1))+1?
Средняя
Алгебра

Ломоносов, 2023, 11 класс, задача 7

(10 баллов) Решите (относительно x) неравенство |p(x)+q(x)+r(x)+s(x)|≥|p(x)|+|q(x)|+|r(x)|+|s(x)|, где p(x)=1.1-cos2x-sin2x, q(x)=x2-2x-8, r(x)=2x-0.125, s(x)=log3(6-x). В ответе укажите количество целочисленных решений.
Простая
Алгебра

Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 8; 11 класс, задача 8

(15 баллов) Найдите количество натуральных n<2023, при каждом из которых среди корней уравнения x-√x=nx-√(nx) имеется положительное рациональное число.
Простая
Теория чисел

Ломоносов, 2023, 11 класс, задача 9

(15 баллов) В треугольной пирамиде DABC, в основании которой лежит остроугольный треугольник ABC, боковая грань DAC перпендикулярна основанию, рёбра DB и AC перпендикулярны, а расстояние между проекциями вершины D пирамиды на рёбра AB и BC равно 7. Найдите объём пирамиды, если её высота равна 1, а р
Сложная
Стереометрия

Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 6; 11 класс, задача 6

(15 баллов — 10 класс; 10 баллов — 11 класс) В треугольнике ABC angle BAC=36circ, BC=10√3, M — точка пересечения медиан, и angle BMC=144circ. Найдите длину медианы треугольника ABC, проведённой из вершины A.
Сложная
Планиметрия

10 класс

Отборочный этап

PDF
Задания, решения и критерии

Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 1; 11 класс, задача 1

(10 баллов) В магазине продают три вида ручек: по 14 рублей, по 15 рублей и по 16 рублей. Вася купил ручек ровно на 170 рублей. Сколькими способами это можно было сделать?
Средняя
Теория чисел

Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 2; 11 класс, задача 2

(10 баллов) Даны два натуральных числа. Большее из них равно квадрату их разности, а меньшее из них в 8 раз больше их наибольшего общего делителя. Найдите наименьшее общее кратное этих двух чисел.
Простая
Теория чисел

Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 3; 11 класс, задача 3

(10 баллов) Найти площадь выпуклого многоугольника, координаты вершин которого суть решения системы уравнений:
Простая
Алгебра

Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 4; 11 класс, задача 4

(10 баллов) Четыре купца Арсений, Богдан, Вакула и Гаврила получили из казны 50 золотых червонцев. Они их решили разделить так, чтобы каждому досталось нечётное количество червонцев. Сколько есть разных способов дележа?
Простая
Комбинаторика

Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 6; 11 класс, задача 6

(15 баллов — 10 класс; 10 баллов — 11 класс) В треугольнике ABC angle BAC=36circ, BC=10√3, M — точка пересечения медиан, и angle BMC=144circ. Найдите длину медианы треугольника ABC, проведённой из вершины A.
Сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 8; 11 класс, задача 8

(15 баллов) Найдите количество натуральных n<2023, при каждом из которых среди корней уравнения x-√x=nx-√(nx) имеется положительное рациональное число.
Простая
Теория чисел

Ломоносов, 2023, 9 класс, задача 5; 10 класс, задача 5

(10 баллов — 9 класс; 15 баллов — 10 класс) Найти все значения a, для которых при любом x,y многочлен x4y2+x2y4-ax2y2+1 неотрицателен. В ответе укажите наибольшее a, округлённое до сотых.
Простая
Алгебра

Ломоносов, 2023, 9 класс, задача 8; 10 класс, задача 7

(20 баллов — 9 класс; 15 баллов — 10 класс) Решите систему В ответе укажите наибольшее значение, которое может принимать x, при необходимости округлив ответ до двух знаков после запятой.
Средняя
Алгебра

9 класс

Отборочный этап

PDF
Задания, решения и критерии

Ломоносов, 2023, 7–8 классы, задача 1; 9 класс, задача 1

(10 баллов) Для скольких натуральных n из отрезка [22,2022] число nn будет полным квадратом?
Простая
Теория чисел

Ломоносов, 2023, 9 класс, задача 2

(10 баллов) Дан прямоугольник длины 6 и ширины 4. Вокруг него описан квадрат, т.е. нарисован квадрат такой, что разные вершины прямоугольника лежат на разных сторонах квадрата. Найти площадь квадрата.
Средняя
Планиметрия

Ломоносов, 2023, 9 класс, задача 4

(10 баллов) В треугольнике ABC стороны AB=84, AC=98, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC, а прямая BD перпендикулярна AO и пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.
Средняя
Планиметрия

Ломоносов, 2023, 9 класс, задача 5; 10 класс, задача 5

(10 баллов — 9 класс; 15 баллов — 10 класс) Найти все значения a, для которых при любом x,y многочлен x4y2+x2y4-ax2y2+1 неотрицателен. В ответе укажите наибольшее a, округлённое до сотых.
Простая
Алгебра

Ломоносов, 2023, 9 класс, задача 6

(15 баллов) Квадрат с белыми и жёлтыми клетками На плоскости имеются белые и жёлтые клетки. Каждая белая клетка либо скрывает конфету, либо пустая. В жёлтой клетке записано число конфет, которые скрываются за белыми клетками, удалёнными от данной не дальше, чем на 2 строки и 2 столбца. Из клеток сос
Сложная
Комбинаторика

Ломоносов, 2023, 9 класс, задача 7

(15 баллов) Есть квадратный трёхчлен f(x) с целыми коэффициентами. Про него известно следующее: f(1)=0, 60
Простая
Алгебра

Ломоносов, 2023, 9 класс, задача 8; 10 класс, задача 7

(20 баллов — 9 класс; 15 баллов — 10 класс) Решите систему В ответе укажите наибольшее значение, которое может принимать x, при необходимости округлив ответ до двух знаков после запятой.
Средняя
Алгебра

Ломоносов, 2023, 7–8 классы, задача 4; 9 класс, задача 3

(15 баллов — 7–8 классы; 10 баллов — 9 класс) Найдите количество троек натуральных чисел (a,b,c), таких, что a,b,c∈[1,13], и a
Простая
Комбинаторика

7–8 класс

Отборочный этап

PDF
Задания, решения и критерии

Ломоносов, 2023, 7–8 классы, задача 1; 9 класс, задача 1

(10 баллов) Для скольких натуральных n из отрезка [22,2022] число nn будет полным квадратом?
Простая
Теория чисел

Ломоносов, 2023, 7-8 класс, задача 2

(10 баллов) У каждого ученика в классе не менее 15 друзей, причём не более 15 учеников имеют одинаковое число друзей. Какое наименьшее число учеников может быть в классе?
Простая
Комбинаторика

Ломоносов, 2023, 7-8 класс, задача 3

(15 баллов) Карта Флатландии — прямоугольник, разбитый на губернии прямыми. Какое наибольшее число губерний может быть на карте, если проведены 2022 прямые?
Простая
Комбинаторика

Ломоносов, 2023, 7–8 классы, задача 4; 9 класс, задача 3

(15 баллов — 7–8 классы; 10 баллов — 9 класс) Найдите количество троек натуральных чисел (a,b,c), таких, что a,b,c∈[1,13], и a
Простая
Комбинаторика

Ломоносов, 2023, 7-8 класс, задача 5

(15 баллов) Дан прямоугольник длины 6 и ширины 4. Вокруг него описан квадрат, т.е. нарисован квадрат такой, что разные вершины прямоугольника лежат на разных сторонах квадрата. Стороны прямоугольника образуют углы по 45circ со сторонами квадрата. Найти площадь квадрата.
Простая
Планиметрия

Ломоносов, 2023, 7-8 класс, задача 6

(15 баллов) Космонавт, прилетевший на другую планету, узнал, что инопланетяне на ней измеряют возраст в килоднях (один килодень равен 1000 земных суток). Сколько полных земных лет было космонавту 26 ноября 2022 года, если по земному календарю он родился в полдень по московскому времени 23 сентября (
Сложная
Теория чисел

Ломоносов, 2023, 7-8 класс, задача 7

(20 баллов) Стандартный экран блокировки Планшет обладает стандартным экраном блокировки (см. рис.). Владелец планшета вводит четырёхзначный пароль, а взломщик наблюдает со стороны. Он не видит точные цифры, которые нажимает владелец, но следит за движением пальца: вторая цифра находится левее и ниж
Простая
Комбинаторика