Ломоносов, 2023, 9 класс, задача 8; 10 класс, задача 7

Средняя
Алгебра
Источник:
Олимпиада «Ломоносов», Отборочный этап, 2023, 9 классОлимпиада «Ломоносов», Отборочный этап, 2023, 10 класс

( баллов — 9 класс; баллов — 10 класс)

Решите систему

В ответе укажите наибольшее значение, которое может принимать , при необходимости округлив ответ до двух знаков после запятой.

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: ()

Решение. Решим задачу в общем виде:

где — положительные числа. По неравенству Коши-Буняковского

причем равенство возможно тогда и только тогда, когда

откуда , . Подставляя эти выражения во второе уравнение, получаем

откуда

(из двух возможных значений для выбирается положительное). В нашем случае , откуда находим .

1

Верный ответ (9 класс)

20
2

Верный ответ (10 класс)

15
Максимум: 20

Похожие задачи

Ломоносов, 2022, 9 класс, задача 3

(10 баллов) Найдите сумму всех целочисленных значений a, при каждом из которых система имеет хотя бы одно решение.
Средняя
Алгебра

Ломоносов, 2021, 9 класс, задача 6

(10 баллов) Найдите наименьшее значение выражения 4x+9y+frac1{x-4}+frac1{y-5} при условии, что x>4 и y>5.
Средняя
Алгебра

Ломоносов, 2020, 9 класс, задача 5

(12 баллов) Уравнение x2+5x+1=0 имеет корни x1 и x2. Найдите значение выражения (frac{x1√6}{1+x2})2+(frac{x2√6}{1+x1})2.
Средняя
Алгебра

Ломоносов, 2020, 9 класс, задача 7; 10–11 классы, задача 10

(12 баллов) Числа a и b таковы, что многочлен x4+x3+2x2+ax+b является квадратом некоторого другого многочлена. Найдите b.
Средняя
Алгебра