Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 8; 11 класс, задача 8

Простая
Теория чисел
Источник:
Олимпиада «Ломоносов», Отборочный этап, 2023, 10 классОлимпиада «Ломоносов», Отборочный этап, 2023, 11 класс

( баллов)

Найдите количество натуральных , при каждом из которых среди корней уравнения

имеется положительное рациональное число.

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ:

Решение. Исходное уравнение равносильно равносильно уравнению

Если , то любое неотрицательное число будет решением, поэтому подходит. Если , , получаем уравнение

откуда

Значит, будет рациональным только тогда, когда . Таким образом, в качестве подходят все точные квадраты натуральных чисел, не превосходящие : — итого значения.

1

Верный ответ

15
Максимум: 15

Похожие задачи

Ломоносов, 2020, 7-8 класс, задача 7

(14 баллов) Найдите наибольшее из целых значений a, при которых уравнение (x-a)(x-7)+3=0 имеет хотя бы один целый корень.
Простая
Теория чисел

Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 2; 11 класс, задача 2

(10 баллов) Даны два натуральных числа. Большее из них равно квадрату их разности, а меньшее из них в 8 раз больше их наибольшего общего делителя. Найдите наименьшее общее кратное этих двух чисел.
Простая
Теория чисел

Ломоносов, 2023, 7–8 классы, задача 1; 9 класс, задача 1

(10 баллов) Для скольких натуральных n из отрезка [22,2022] число nn будет полным квадратом?
Простая
Теория чисел

Ломоносов, 2024, 7–8 классы, задача 7; 9 класс, задача 6

(20 баллов — 7–8 классы; 15 баллов — 9 класс) Найдите наименьшее возможное значение суммы 10 различных натуральных чисел, если известно, что она нечётна, а произведение любых 5 слагаемых в ней чётно.
Простая
Теория чисел