Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 1; 11 класс, задача 1

Ответ:

Решение. Пусть Вася купил ручек по рублей, ручек по рублей и ручек по рублей. Тогда ; для ответа на вопрос задачи нужно найти количество решений этого уравнения в неотрицательных целых числах. Перейдя в уравнении к остаткам от деления на , получим, что , где — некоторое целое число. Подставив это выражение в исходное уравнение и поделив обе его части на , получим . Так как , то ; если , то и — противоречие, следовательно, или . При получаем и , и , и , и , при этом равно соответственно. При имеем , значит, и , получаем и , и , при этом равно и соответственно. Итого вариантов.