Ломоносов, 2024, 7–8 классы, задача 5; 9 класс, задача 3

Средняя
Теория чисел
Источник:
Олимпиада «Ломоносов», Отборочный этап, 2024, 7–8 классыОлимпиада «Ломоносов», Отборочный этап, 2024, 9 класс

( баллов — 7–8 классы; баллов — 9 класс)

Пусть — сумма цифр натурального числа . Решите уравнение

Если решений несколько, в ответе укажите наименьшее из них.

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ:

Решение. Пусть - сумма цифр натурального числа . Число кратно и . Так
как делится на , то тоже должно делиться на . А значит, делится на . В таком
случае тоже должно делиться на . Докажем, что — четырёхзначное число. Пусть .
Тогда . Таким образом, . Противоречие.
Число пятизначным тоже быть, очевидно, не может. То есть — четырёхзначное натуральное
число, , . Тогда равно , , либо . . Так что нужно
проверить варианты, когда равно , ,
и , и выбрать из них наименьшее подходящее. Если , то ,
следовательно . Если , то , следовательно
. Если , то , следовательно . Если , то , следовательно . Таким образом, ответ в задаче .

1

Верный ответ (7–8 классы)

15
2

Верный ответ (9 класс)

10
Максимум: 15

Похожие задачи

Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 1; 11 класс, задача 1

(10 баллов) В магазине продают три вида ручек: по 14 рублей, по 15 рублей и по 16 рублей. Вася купил ручек ровно на 170 рублей. Сколькими способами это можно было сделать?
Средняя
Теория чисел

Ломоносов, 2022, 9 класс, задача 7; 10 класс, задача 7

(15 баллов — 9 класс; 10 баллов — 10 класс) Решите уравнение в целых числах: y2+xy-2x2-15y+15x-1=0. В ответе укажите сумму всех найденных натуральных значений y.
Средняя
Теория чисел

Ломоносов, 2022, 7–8 классы, задача 4; 9 класс, задача 4

(15 баллов — 7–8 классы; 10 баллов — 9 класс) В магазине продаются синие ручки по 14 рублей, красные — по 15 рублей и зелёные — по 16 рублей. Вася купил несколько ручек всех трёх цветов, потратив на них ровно 170 рублей. Какое наименьшее число красных ручек он мог купить?
Средняя
Теория чисел

Ломоносов, 2021, 9 класс, задача 7; 10–11 классы, задача 7

(10 баллов) Найдите все такие значения a, при каждом из которых уравнение x2+2ax=8a имеет два различных целых корня. В ответ запишите произведение всех таких a, при необходимости округлив до сотых.
Сложная
Теория чисел