Ломоносов, 2022, 9 класс, задача 7; 10 класс, задача 7

Средняя
Теория чисел
Источник:
Олимпиада «Ломоносов», Отборочный этап, 2022, 9 классОлимпиада «Ломоносов», Отборочный этап, 2022, 10 класс

( баллов — 9 класс; баллов — 10 класс)

Решите уравнение в целых числах:

В ответе укажите сумму всех найденных натуральных значений .

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: .

Решение. Запишем уравнение как квадратное относительно :

Его дискриминант равен . Уравнение имеет (действительные) решения только при , что при целых равносильно условию . Перебирая указанные значения , получим, что только при получаются натуральные корни и , сумма которых равна , а при других значениях значения получаются иррациональными.

1

Верный ответ (9 класс)

15
2

Верный ответ (10 класс)

10
Максимум: 15

Похожие задачи

Ломоносов, 2024, 7–8 классы, задача 5; 9 класс, задача 3

(15 баллов — 7–8 классы; 10 баллов — 9 класс) Пусть S(n) — сумма цифр натурального числа n. Решите уравнение n+4S(n)=2025. Если решений несколько, в ответе укажите наименьшее из них.
Средняя
Теория чисел

Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 1; 11 класс, задача 1

(10 баллов) В магазине продают три вида ручек: по 14 рублей, по 15 рублей и по 16 рублей. Вася купил ручек ровно на 170 рублей. Сколькими способами это можно было сделать?
Средняя
Теория чисел

Ломоносов, 2022, 7–8 классы, задача 4; 9 класс, задача 4

(15 баллов — 7–8 классы; 10 баллов — 9 класс) В магазине продаются синие ручки по 14 рублей, красные — по 15 рублей и зелёные — по 16 рублей. Вася купил несколько ручек всех трёх цветов, потратив на них ровно 170 рублей. Какое наименьшее число красных ручек он мог купить?
Средняя
Теория чисел

Ломоносов, 2021, 7-8 класс, задача 6

(15 баллов) Найдите наименьшее натуральное число n, для которого число n+2018 делится на 2020, а число n+2020 делится на 2018.
Сложная
Теория чисел