Ломоносов, 2022, 7–8 классы, задача 4; 9 класс, задача 4

Ответ: .

Решение. Пусть — число синих ручек, — красных, — зелёных. Тогда из условия получаем уравнение , где . Рассматривая остаток от деления этого числа на , получаем равенство , где . Подставим это выражение в исходное уравнение и поделим обе его части на , получим . Поскольку , то . Если , то и — противоречие. Следовательно, или . При с учётом условий получаем два решения , и и , при этом равно и соответственно. Рассмотрим случай . Поскольку , т. е. , получаем и , но при этом , поэтому данный случай невозможен. Таким образом, возможны лишь случая: , , или , , . Наименьшее возможное значение равно .