1. Олимпиады
  2. Ломоносов

Отборочный этап

11 класс

Отборочный этап

PDF
Задания
PDF
Решения и критерии

Ломоносов, 2022, 11 класс, задача 1

(10 баллов) В выражении A=810.5*log9 7 на месте знака * может стоять любой из знаков четырёх арифметических действий (+, -,:, ×). Найдите отношение наибольшего возможного значения A к наименьшему, при необходимости округлив ответ до сотых.
Простая
Алгебра

Ломоносов, 2022, 11 класс, задача 2

(10 баллов) Точки A, B, C и D расположены в указанном порядке на окружности таким образом, что длины дуг AD и CD равны 4, отношение длин дуг AB и BC равно frac37, а также равны длины отрезков AD и CL, где L — точка пересечения отрезков AC и BD. Найдите длину дуги AB.
Сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2022, 11 класс, задача 3

(10 баллов) Монета искривлена так, что вероятность выпадения ровно 3-х орлов в серии из 5-ти бросков равна вероятности выпадения ровно 2-х орлов в серии из 4-х бросков. Найдите вероятность того, что в серии из 6-ти бросков выпадет не менее 3-х орлов. Если необходимо, ответ округлите до сотых.
Простая
Комбинаторика

Ломоносов, 2022, 11 класс, задача 4

(10 баллов) Найдите максимальное значение функции f(x)=sin4x+2cos3x на отрезке [arccosfrac34,arccos(-frac14)]. При необходимости округлите ответ до сотых.
Простая
Алгебра

Ломоносов, 2022, 11 класс, задача 5

(10 баллов) Найдите площадь полной поверхности куба, если расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных боковых граней этого куба равно 8.
Сложная
Стереометрия

Ломоносов, 2022, 10 класс, задача 6; 11 класс, задача 6

(10 баллов) Фабрика производит n>15,000 ёлочных игрушек в месяц и является убыточной. Известно, что при изготовлении n ёлочных игрушек в месяц расходы фабрики на производство одной игрушки составляют не менее (126,000/n) +9-|3-(54,000/n) | рублей, а цена реализации каждой игрушки при этом не превосх
Средняя
Алгебра

Ломоносов, 2022, 11 класс, задача 7

(10 баллов) Найдите сумму всех целых a, при которых неравенство (2-a)4cos 2x+2(a-5)frac1{4sin2x}+1<0 выполнено для всех значений x.
Средняя
Алгебра

Ломоносов, 2022, 11 класс, задача 8

(10 баллов) В параллелограмме ABCD проведена биссектриса angle BAD, пересекающая прямую BC в точке K. В треугольник ABK вписана окружность. Найдите расстояние между точками касания этой окружностью сторон AB и BK, если AB=4, angle BAD=fracπ3. При необходимости округлите ответ до двух знаков после за
Средняя
Планиметрия

Ломоносов, 2022, 11 класс, задача 9

(10 баллов) Решите систему В ответе укажите минимальное значение, которое может принимать сумма x+y, если x и y являются решениями системы, при необходимости округлив его до двух знаков после запятой.
Средняя
Алгебра

Ломоносов, 2022, 10 класс, задача 9; 11 класс, задача 10

(15 баллов — 10 класс; 10 баллов — 11 класс) Пусть hat x — наибольший корень многочлена f(x)=x3-3x2+1. Найти остаток от деления целой части числа hat x2021 на 17. Целая часть числа a — это наибольшее целое число, не превосходящее числа a.
Очень сложная
Алгебра

10 класс

Отборочный этап

PDF
Задания
PDF
Решения и критерии

Ломоносов, 2022, 10 класс, задача 1

(10 баллов) Четвертый элемент арифметической прогрессии на 6 меньше утроенного пятого элемента. Найдите сумму первых десяти элементов этой прогрессии.
Простая
Алгебра

Ломоносов, 2022, 7–8 классы, задача 7; 9 класс, задача 5; 10 класс, задача 2

(20 баллов — 7–8 классы; 10 баллов — 9–10 классы) В параллелограмме ABCD точки E и F — середины сторон AD и CD соответственно. Пусть G и H — точки пересечения отрезков BE и BF соответственно с диагональю AC параллелограмма. Найдите площадь четырёхугольника GHFE, если площадь параллелограмма ABCD рав
Сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2022, 10 класс, задача 3

(10 баллов) Пусть (a,b) — точка на графике функции y=x+frac1x, ближайшая к началу координат. Найдите (b-a)20.
Простая
Алгебра

Ломоносов, 2022, 10 класс, задача 6; 11 класс, задача 6

(10 баллов) Фабрика производит n>15,000 ёлочных игрушек в месяц и является убыточной. Известно, что при изготовлении n ёлочных игрушек в месяц расходы фабрики на производство одной игрушки составляют не менее (126,000/n) +9-|3-(54,000/n) | рублей, а цена реализации каждой игрушки при этом не превосх
Средняя
Алгебра

Ломоносов, 2022, 10 класс, задача 8

(15 баллов) Решите уравнение cos2 8xsin 2x+2cos2 x=1+√2. В ответе укажите сумму корней, принадлежащих отрезку [0;2π], при необходимости округлив ее до двух знаков после запятой.
Сложная
Алгебра

Ломоносов, 2022, 10 класс, задача 9; 11 класс, задача 10

(15 баллов — 10 класс; 10 баллов — 11 класс) Пусть hat x — наибольший корень многочлена f(x)=x3-3x2+1. Найти остаток от деления целой части числа hat x2021 на 17. Целая часть числа a — это наибольшее целое число, не превосходящее числа a.
Очень сложная
Алгебра

Ломоносов, 2022, 9 класс, задача 6; 10 класс, задача 4

(15 баллов — 9 класс; 10 баллов — 10 класс) Решите систему уравнений В ответе укажите минимальное значение y, являющееся решением системы, при необходимости округлив его до двух знаков после запятой.
Простая
Алгебра

Ломоносов, 2022, 9 класс, задача 8; 10 класс, задача 5

(20 баллов — 9 класс; 10 баллов — 10 класс) В неравнобедренном треугольнике ABC один из углов равен разности двух других и один из углов в два раза больше другого. Биссектрисы углов A, B и C пересекают описанную вокруг треугольника окружность в точках A1, B1 и C1 соо
Сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2022, 9 класс, задача 7; 10 класс, задача 7

(15 баллов — 9 класс; 10 баллов — 10 класс) Решите уравнение в целых числах: y2+xy-2x2-15y+15x-1=0. В ответе укажите сумму всех найденных натуральных значений y.
Средняя
Теория чисел

9 класс

Отборочный этап

PDF
Задания
PDF
Решения и критерии

Ломоносов, 2022, 9 класс, задача 1

(10 баллов) Последовательность (an) задана рекуррентно равенствами a1=7, an=an-1+2n-1, n≥2. Найдите a2021.
Очень простая
Алгебра

Ломоносов, 2022, 9 класс, задача 2

(10 баллов) Первые 2023 натуральных чисел выписаны в ряд в некотором порядке. Вычисляют 2021 сумму стоящих подряд трех чисел из этого ряда. Какое максимальное количество из этих сумм может быть нечетным?
Сложная
Комбинаторика

Ломоносов, 2022, 9 класс, задача 3

(10 баллов) Найдите сумму всех целочисленных значений a, при каждом из которых система имеет хотя бы одно решение.
Средняя
Алгебра

Ломоносов, 2022, 7–8 классы, задача 7; 9 класс, задача 5; 10 класс, задача 2

(20 баллов — 7–8 классы; 10 баллов — 9–10 классы) В параллелограмме ABCD точки E и F — середины сторон AD и CD соответственно. Пусть G и H — точки пересечения отрезков BE и BF соответственно с диагональю AC параллелограмма. Найдите площадь четырёхугольника GHFE, если площадь параллелограмма ABCD рав
Сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2022, 9 класс, задача 6; 10 класс, задача 4

(15 баллов — 9 класс; 10 баллов — 10 класс) Решите систему уравнений В ответе укажите минимальное значение y, являющееся решением системы, при необходимости округлив его до двух знаков после запятой.
Простая
Алгебра

Ломоносов, 2022, 9 класс, задача 7; 10 класс, задача 7

(15 баллов — 9 класс; 10 баллов — 10 класс) Решите уравнение в целых числах: y2+xy-2x2-15y+15x-1=0. В ответе укажите сумму всех найденных натуральных значений y.
Средняя
Теория чисел

Ломоносов, 2022, 9 класс, задача 8; 10 класс, задача 5

(20 баллов — 9 класс; 10 баллов — 10 класс) В неравнобедренном треугольнике ABC один из углов равен разности двух других и один из углов в два раза больше другого. Биссектрисы углов A, B и C пересекают описанную вокруг треугольника окружность в точках A1, B1 и C1 соо
Сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2022, 7–8 классы, задача 4; 9 класс, задача 4

(15 баллов — 7–8 классы; 10 баллов — 9 класс) В магазине продаются синие ручки по 14 рублей, красные — по 15 рублей и зелёные — по 16 рублей. Вася купил несколько ручек всех трёх цветов, потратив на них ровно 170 рублей. Какое наименьшее число красных ручек он мог купить?
Средняя
Теория чисел

7–8 класс

Отборочный этап

PDF
Задания
PDF
Решения и критерии

Ломоносов, 2022, 7-8 класс, задача 1

(10 баллов) В многоквартирном доме несколько подъездов, в каждом — одинаковое число этажей (больше одного). На всех этажах всех подъездов одинаковое число квартир (больше одной). Известно, что в каждом подъезде не больше 50 квартир. Сколько подъездов в этом доме, если всего в нём 385 квартир?
Простая
Теория чисел

Ломоносов, 2022, 7-8 класс, задача 2

(10 баллов) Первые 2021 натуральных чисел выписаны в ряд в некотором порядке. Вычисляют 2019 сумм стоящих подряд трех чисел из этого ряда. Какое максимальное количество из этих сумм может быть нечетным?
Сложная
Комбинаторика

Ломоносов, 2022, 7-8 класс, задача 3

(10 баллов) Дорога из пункта A в пункт B длиной 11,5 км состоит из трёх участков: в гору, по равнине и под гору. Пешеход идёт в гору со скоростью 3 км/ч, по равнине — со скоростью 4 км/ч, под гору — со скоростью 5 км/ч. Известно, что на дорогу из A в B он потратил 2 ч 54 мин, а на обратный путь — 3
Простая
Алгебра

Ломоносов, 2022, 7–8 классы, задача 4; 9 класс, задача 4

(15 баллов — 7–8 классы; 10 баллов — 9 класс) В магазине продаются синие ручки по 14 рублей, красные — по 15 рублей и зелёные — по 16 рублей. Вася купил несколько ручек всех трёх цветов, потратив на них ровно 170 рублей. Какое наименьшее число красных ручек он мог купить?
Средняя
Теория чисел

Ломоносов, 2022, 7-8 класс, задача 5

(15 баллов) На рисунке изображено 7 прямых, среди которых три параллельных и ещё две параллельных. Никакие три прямые не пересекаются в одной точке. Сколько существует треугольников, все стороны каждого из которых лежат на этих прямых? Семь прямых
Простая
Планиметрия

Ломоносов, 2022, 7-8 класс, задача 6

(20 баллов) Пол квадратного зала выкладывают квадратными плитками одинакового размера белого и серого цвета таким образом, как показано на рисунке: угловая плитка серая, затем три белые, затем пять серых, затем семь белых, и т. д. Чтобы таким образом выложить плиткой весь пол зала, белых плиток потр
Средняя
Комбинаторика

Ломоносов, 2022, 7–8 классы, задача 7; 9 класс, задача 5; 10 класс, задача 2

(20 баллов — 7–8 классы; 10 баллов — 9–10 классы) В параллелограмме ABCD точки E и F — середины сторон AD и CD соответственно. Пусть G и H — точки пересечения отрезков BE и BF соответственно с диагональю AC параллелограмма. Найдите площадь четырёхугольника GHFE, если площадь параллелограмма ABCD рав
Сложная
Планиметрия