Ломоносов, 2022, 7–8 классы, задача 7; 9 класс, задача 5; 10 класс, задача 2
( баллов — 7–8 классы; баллов — 9–10 классы)
В параллелограмме точки и — середины сторон и соответственно. Пусть и — точки пересечения отрезков и соответственно с диагональю параллелограмма. Найдите площадь четырёхугольника , если площадь параллелограмма равна .
Ответ
Ответ: .
Решение. Заметим, что , , (так как в треугольнике сторона в раза меньше стороны параллелограмма , а в формуле для площади треугольника есть ещё множитель ). Аналогично, , (так как треугольники и подобны и их площади относятся как квадрат коэффициента подобия, а площадь треугольника равна половине площади параллелограмма). Следовательно,
Треугольники и подобны, поэтому , т. е. . Аналогично, из подобия треугольников и получаем, что . Вычитая одно из этих равенств из другого, получаем . Значит, .
Таким образом, искомая площадь равна .
Верный ответ (7–8 классы)
Верный ответ (9–10 классы)