Ломоносов, 2022, 11 класс, задача 2

Сложная

Источник:

Олимпиада «Ломоносов», Отборочный этап, 2022, 11 класс

( баллов)

Точки , , и расположены в указанном порядке на окружности таким образом, что длины дуг и равны , отношение длин дуг и равно , а также равны длины отрезков и , где — точка пересечения отрезков и . Найдите длину дуги .

Ответ

Ответ: .

Решение. Решим задачу в общем виде. Пусть длины дуг и равны , отношение длин дуг и равно . Из условия задачи следует, что треугольники и равнобедренные. Обозначим , тогда , . Поскольку длина дуги пропорциональна величине опирающегося на нее вписанного угла, имеем

Рассуждая аналогично, имеем

Точки на окружности и пересечение хорд

Верный ответ

Максимум: 10

Похожие задачи

Ломоносов, 2021, 9 класс, задача 3

(10 баллов) В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD равны и перпендикулярны. Найдите площадь треугольника ABC, если AB=√(13).

Сложная

Планиметрия

Ломоносов, 2021, 7-8 класс, задача 4

(10 баллов) Дан квадрат со стороной 5 см. На четырёх его сторонах расположены вершины второго квадрата; на четырёх сторонах второго квадрата — вершины третьего, и т. д. При каком наименьшем натуральном n сумма площадей первых n квадратов гарантированно будет больше, чем 49 см²?

Сложная

Планиметрия

Ломоносов, 2022, 7–8 классы, задача 7; 9 класс, задача 5; 10 класс, задача 2

(20 баллов — 7–8 классы; 10 баллов — 9–10 классы) В параллелограмме ABCD точки E и F — середины сторон AD и CD соответственно. Пусть G и H — точки пересечения отрезков BE и BF соответственно с диагональю AC параллелограмма. Найдите площадь четырёхугольника GHFE, если площадь параллелограмма ABCD рав

Сложная

Планиметрия

Ломоносов, 2022, 9 класс, задача 8; 10 класс, задача 5

(20 баллов — 9 класс; 10 баллов — 10 класс) В неравнобедренном треугольнике ABC один из углов равен разности двух других и один из углов в два раза больше другого. Биссектрисы углов A, B и C пересекают описанную вокруг треугольника окружность в точках A₁, B₁ и C₁ соо

Сложная

Планиметрия