Ломоносов, 2021, отборочный этап, 9 класс, задача 3

( баллов)

В треугольнике биссектриса и медиана равны и перпендикулярны. Найдите площадь треугольника , если .

Ответ

Ответ: .

Решение. Пусть , . Так как треугольник равнобедренный (биссектриса перпендикулярна основанию, , ), то по формуле для длины биссектрис (где )

Рассмотрим треугольник (где — середина отрезка и точка пересечения биссектрисы и медианы). Имеем , . Значит, и , , . Площадь треугольника равна .

Верный ответ

Максимум: 10

Похожие задачи

Ломоносов, 2021, отборочный этап, 7-8 класс, задача 4

(10 баллов) Дан квадрат со стороной 5 см. На четырёх его сторонах расположены вершины второго квадрата; на четырёх сторонах второго квадрата — вершины третьего, и т. д. При каком наименьшем натуральном n сумма площадей первых n квадратов гарантированно будет больше, чем 49 см²?

Сложная

Планиметрия

Ломоносов, 2022, отборочный этап, 7–8 классы, задача 7; 9 класс, задача 5; 10 класс, задача 2

(20 баллов — 7–8 классы; 10 баллов — 9–10 классы) В параллелограмме ABCD точки E и F — середины сторон AD и CD соответственно. Пусть G и H — точки пересечения отрезков BE и BF соответственно с диагональю AC параллелограмма. Найдите площадь четырёхугольника GHFE, если площадь параллелограмма ABCD рав

Сложная

Планиметрия

Ломоносов, 2023, отборочный этап, 10 класс, задача 6; 11 класс, задача 6

(15 баллов — 10 класс; 10 баллов — 11 класс) В треугольнике ABC angle BAC=36^circ, BC=10√3, M — точка пересечения медиан, и angle BMC=144^circ. Найдите длину медианы треугольника ABC, проведённой из вершины A.

Сложная

Планиметрия

Ломоносов, 2021, отборочный этап, 9 класс, задача 8

(15 баллов) В прямоугольнике ABCD точка M лежит на стороне BC таким образом, что радиус окружности, вписанной в четырехугольник AMCD, равен 5. Найдите площадь прямоугольника ABCD, если радиус окружности, вписанной в треугольник ABM, равен 3.

Сложная

Планиметрия