Ломоносов, 2021, 9 класс, задача 8

Сложная
Планиметрия
Источник:
Олимпиада «Ломоносов», Отборочный этап, 2021, 9 класс

( баллов)

В прямоугольнике точка лежит на стороне таким образом, что радиус окружности, вписанной в четырехугольник , равен . Найдите площадь прямоугольника , если радиус окружности, вписанной в треугольник , равен .

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: .

Решение. Ясно, что . Применяя свойство четырехугольника, описанного около окружности и формулу длины радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, имеем , , откуда имеем , а так как , то , (где — точка касания стороны и вписанной в окружности.) Значит, , . Кроме того, . По теореме Пифагора для треугольника имеем

1

Верный ответ

15
Максимум: 15

Похожие задачи

Ломоносов, 2022, 11 класс, задача 2

(10 баллов) Точки A, B, C и D расположены в указанном порядке на окружности таким образом, что длины дуг AD и CD равны 4, отношение длин дуг AB и BC равно frac37, а также равны длины отрезков AD и CL, где L — точка пересечения отрезков AC и BD. Найдите длину дуги AB.
Сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2021, 9 класс, задача 3

(10 баллов) В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD равны и перпендикулярны. Найдите площадь треугольника ABC, если AB=√(13).
Сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2022, 9 класс, задача 8; 10 класс, задача 5

(20 баллов — 9 класс; 10 баллов — 10 класс) В неравнобедренном треугольнике ABC один из углов равен разности двух других и один из углов в два раза больше другого. Биссектрисы углов A, B и C пересекают описанную вокруг треугольника окружность в точках A1, B1 и C1 соо
Сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 6; 11 класс, задача 6

(15 баллов — 10 класс; 10 баллов — 11 класс) В треугольнике ABC angle BAC=36circ, BC=10√3, M — точка пересечения медиан, и angle BMC=144circ. Найдите длину медианы треугольника ABC, проведённой из вершины A.
Сложная
Планиметрия