Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 6; 11 класс, задача 6

Сложная
Планиметрия
Источник:
Олимпиада «Ломоносов», Отборочный этап, 2023, 10 классОлимпиада «Ломоносов», Отборочный этап, 2023, 11 класс

( баллов — 10 класс; баллов — 11 класс)

В треугольнике , , — точка пересечения медиан, и . Найдите длину медианы треугольника , проведённой из вершины .

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ:

Решение. Пусть — окружность, описанная около . Пусть точка лежит на продолжении медианы и . По свойству медиан треугольника . Из равенства треугольников и . Отсюда . Значит, по признаку вписанного четырёхугольника точка лежит на окружности.

Геометрическая схема к решению

Хорды и пересекаются в точке , поэтому по теореме об отрезках пересекающихся хорд имеем

1

Верный ответ (10 класс)

15
2

Верный ответ (11 класс)

10
Максимум: 15

Похожие задачи

Ломоносов, 2021, 7-8 класс, задача 4

(10 баллов) Дан квадрат со стороной 5 см. На четырёх его сторонах расположены вершины второго квадрата; на четырёх сторонах второго квадрата — вершины третьего, и т. д. При каком наименьшем натуральном n сумма площадей первых n квадратов гарантированно будет больше, чем 49 см2?
Сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2022, 7–8 классы, задача 7; 9 класс, задача 5; 10 класс, задача 2

(20 баллов — 7–8 классы; 10 баллов — 9–10 классы) В параллелограмме ABCD точки E и F — середины сторон AD и CD соответственно. Пусть G и H — точки пересечения отрезков BE и BF соответственно с диагональю AC параллелограмма. Найдите площадь четырёхугольника GHFE, если площадь параллелограмма ABCD рав
Сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2022, 9 класс, задача 8; 10 класс, задача 5

(20 баллов — 9 класс; 10 баллов — 10 класс) В неравнобедренном треугольнике ABC один из углов равен разности двух других и один из углов в два раза больше другого. Биссектрисы углов A, B и C пересекают описанную вокруг треугольника окружность в точках A1, B1 и C1 соо
Сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2021, 9 класс, задача 8

(15 баллов) В прямоугольнике ABCD точка M лежит на стороне BC таким образом, что радиус окружности, вписанной в четырехугольник AMCD, равен 5. Найдите площадь прямоугольника ABCD, если радиус окружности, вписанной в треугольник ABM, равен 3.
Сложная
Планиметрия