Ломоносов, 2021, 7-8 класс, задача 4

Сложная
Планиметрия
Источник:
Олимпиада «Ломоносов», Отборочный этап, 2021, 7–8 классы

( баллов)

Дан квадрат со стороной см. На четырёх его сторонах расположены вершины второго квадрата; на четырёх сторонах второго квадрата — вершины третьего, и т. д. При каком наименьшем натуральном сумма площадей первых квадратов гарантированно будет больше, чем см?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: .

Решение. Квадрат, вписанный в данный квадрат, имеет наименьшую площадь, если его вершины являются серединами сторон исходного квадрата (это следует, например, из того, что площадь квадрата равна половине квадрата его диагонали). В этом случае площадь вписанного квадрата равна половине площади исходного. Значит, площади квадратов минимальной площади образуют геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем . Сумма первых её членов впервые превысит при (это можно получить перебором либо из формулы для суммы членов геометрической прогрессии).

1

Верный ответ

10
Максимум: 10

Похожие задачи

Ломоносов, 2022, 7–8 классы, задача 7; 9 класс, задача 5; 10 класс, задача 2

(20 баллов — 7–8 классы; 10 баллов — 9–10 классы) В параллелограмме ABCD точки E и F — середины сторон AD и CD соответственно. Пусть G и H — точки пересечения отрезков BE и BF соответственно с диагональю AC параллелограмма. Найдите площадь четырёхугольника GHFE, если площадь параллелограмма ABCD рав
Сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 6; 11 класс, задача 6

(15 баллов — 10 класс; 10 баллов — 11 класс) В треугольнике ABC angle BAC=36circ, BC=10√3, M — точка пересечения медиан, и angle BMC=144circ. Найдите длину медианы треугольника ABC, проведённой из вершины A.
Сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2021, 9 класс, задача 3

(10 баллов) В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD равны и перпендикулярны. Найдите площадь треугольника ABC, если AB=√(13).
Сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2021, 9 класс, задача 8

(15 баллов) В прямоугольнике ABCD точка M лежит на стороне BC таким образом, что радиус окружности, вписанной в четырехугольник AMCD, равен 5. Найдите площадь прямоугольника ABCD, если радиус окружности, вписанной в треугольник ABM, равен 3.
Сложная
Планиметрия