Ломоносов, 2022, 9 класс, задача 8; 10 класс, задача 5

Сложная
Планиметрия
Источник:
Олимпиада «Ломоносов», Отборочный этап, 2022, 9 классОлимпиада «Ломоносов», Отборочный этап, 2022, 10 класс

( баллов — 9 класс; баллов — 10 класс)

В неравнобедренном треугольнике один из углов равен разности двух других и один из углов в два раза больше другого. Биссектрисы углов , и пересекают описанную вокруг треугольника окружность в точках , и соответственно. Найдите площадь треугольника , если площадь треугольника равна . При необходимости округлите ответ до сотых.

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: .

Решение. Обозначим углы треугольника , и , причём . Тогда , поэтому , т. е. . Возможны два случая.

Если , то , т. е. треугольник равнобедренный, что противоречит условию.

Пусть , тогда , .

Пусть — площадь треугольника , — площадь треугольника , — радиус окружности, описанной около треугольников и . Так как треугольник прямоугольный, то и , а углы треугольника (по теореме о вписанном угле) равны , , . Значит, . Из теоремы синусов, применённой к треугольнику , получаем , . Следовательно,

Треугольник и точки пересечения биссектрис с окружностью

1

Верный ответ (9 класс)

20
2

Верный ответ (10 класс)

10
Максимум: 20

Похожие задачи

Ломоносов, 2022, 11 класс, задача 2

(10 баллов) Точки A, B, C и D расположены в указанном порядке на окружности таким образом, что длины дуг AD и CD равны 4, отношение длин дуг AB и BC равно frac37, а также равны длины отрезков AD и CL, где L — точка пересечения отрезков AC и BD. Найдите длину дуги AB.
Сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2021, 7-8 класс, задача 4

(10 баллов) Дан квадрат со стороной 5 см. На четырёх его сторонах расположены вершины второго квадрата; на четырёх сторонах второго квадрата — вершины третьего, и т. д. При каком наименьшем натуральном n сумма площадей первых n квадратов гарантированно будет больше, чем 49 см2?
Сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2022, 7–8 классы, задача 7; 9 класс, задача 5; 10 класс, задача 2

(20 баллов — 7–8 классы; 10 баллов — 9–10 классы) В параллелограмме ABCD точки E и F — середины сторон AD и CD соответственно. Пусть G и H — точки пересечения отрезков BE и BF соответственно с диагональю AC параллелограмма. Найдите площадь четырёхугольника GHFE, если площадь параллелограмма ABCD рав
Сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2021, 9 класс, задача 8

(15 баллов) В прямоугольнике ABCD точка M лежит на стороне BC таким образом, что радиус окружности, вписанной в четырехугольник AMCD, равен 5. Найдите площадь прямоугольника ABCD, если радиус окружности, вписанной в треугольник ABM, равен 3.
Сложная
Планиметрия