Ломоносов, 2022, 11 класс, задача 5

Ответ: .

Решение. Пусть — куб с ребром , — расстояние между прямыми и . Пусть , — плоскости и соответственно. Поскольку и , плоскости и параллельны, поэтому равно расстоянию между плоскостями и .

Покажем, что диагональ куба перпендикулярна плоскостям и , и точками пересечения с этими плоскостями делится на три равные части.

При повороте куба на вокруг точки , , переходят друг в друга, а значит, плоскость остаётся на месте (переходит сама в себя). Следовательно, . Пусть , — центры граней , соответственно. Тогда в сечении куба получаем , . Поэтому делится отрезками и на три равные части.

Таким образом, , откуда . Площадь полной поверхности куба равна .