Ломоносов, 2024, 7-8 класс, задача 1
( баллов) На какое наибольшее число частей могут разбить пространство две поверхности, если
одна из них — сфера, а другая — куб? Они могут располагаться как угодно и быть любых
размеров.
Ответ
Ответ:
Решение. Пример такого разбиения: впишите в грани куба окружности (они будут касаться
друг друга в серединах рёбер куба), и проведите сферу, проходящую через них. Тогда пространство разобьётся на такие части: часть лежит снаружи и куба, и сферы. часть лежит внутри
и куба, и сферы. частей лежат внутри сферы и снаружи куба ( сферических сегментов). И
частей лежат внутри куба, но снаружи сферы (уголки куба). В сумме .
Почему этот способ оптимален? Все области делятся так: есть лежащая снаружи обеих
фигур. Есть , лежащая внутри обеих фигур. А остальные делятся на вида: те, что принадлежат только шару, и те, что принадлежат только кубу. Куб может отсечь от сферы не более
кусков (просто по числу плоскостей). Сфера может отсечь от куба не более восьми (по числу
углов-вершин). Каждому отсечённому куску может принадлежать сколько-то углов — и нуля
углов у куска быть не может. Предложенный способ оптимален по обоим параметрам.
Верный ответ