Ломоносов, 2023, 11 класс, задача 9

Сложная
Стереометрия
Источник:
Олимпиада «Ломоносов», Отборочный этап, 2023, 11 класс

( баллов)

В треугольной пирамиде , в основании которой лежит остроугольный треугольник , боковая грань перпендикулярна основанию, рёбра и перпендикулярны, а расстояние между проекциями вершины пирамиды на рёбра и равно . Найдите объём пирамиды, если её высота равна , а радиус окружности, описанной около основания, равен .

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ:

Решение. Обозначим проекцию вершины на плоскость через . Поскольку плоскость перпендикулярна плоскости , отрезок лежит в плоскости и перпендикулярен ребру . Так как , то и (по теореме о трёх перпендикулярах).

Из точки опустим перпендикуляры на рёбра и — соответственно и . Тогда по теореме о трёх перпендикулярах точки и будут проекциями точки на рёбра и , так что .

Пирамида и проекции вершины

Так как , то четырёхугольник можно вписать в окружность с диаметром . Пусть . По теореме синусов для треугольников и имеем

Поэтому площадь основания равна

Отсюда получаем объём пирамиды .

1

Верный ответ

15
Максимум: 15

Похожие задачи

Ломоносов, 2024, 7-8 класс, задача 1

(10 баллов) На какое наибольшее число частей могут разбить пространство две поверхности, если одна из них — сфера, а другая — куб? Они могут располагаться как угодно и быть любых размеров.
Сложная
Стереометрия

Ломоносов, 2024, 11 класс, задача 3

(10 баллов) Иммануил открыл трёхмерный редактор Blender и создал в нём куб. Потом он поместил в центр каждой грани куба по точке и соединил их в октаэдр. Затем он увеличил полученный октаэдр в (6/5) раза (центр октаэдра остался на прежнем месте, октаэдр не поворачивался) и удалил из куба всё, что ок
Сложная
Стереометрия

Ломоносов, 2022, 11 класс, задача 5

(10 баллов) Найдите площадь полной поверхности куба, если расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных боковых граней этого куба равно 8.
Сложная
Стереометрия

Ломоносов, 2022, 9 класс, задача 8; 10 класс, задача 5

(20 баллов — 9 класс; 10 баллов — 10 класс) В неравнобедренном треугольнике ABC один из углов равен разности двух других и один из углов в два раза больше другого. Биссектрисы углов A, B и C пересекают описанную вокруг треугольника окружность в точках A1, B1 и C1 соо
Сложная
Планиметрия