Ломоносов, 2024, 11 класс, задача 3
( баллов) Иммануил открыл трёхмерный редактор Blender и создал в нём куб. Потом он поместил
в центр каждой грани куба по точке и соединил их в октаэдр. Затем он увеличил полученный
октаэдр в раза (центр октаэдра остался на прежнем месте, октаэдр не поворачивался) и
удалил из куба всё, что оказалось внутри октаэдра. Какая доля (по объёму) куба осталась?
Доведите дробь до несократимой и в ответе укажите сумму её числителя и знаменателя. Или,
если ответ иррациональный (только в этом случае) запишите его в виде десятичной дроби, до
второго знака после запятой.
Ответ
Ответ:
Решение. Пусть ребро куба равно , тогда диагональ октаэдра равна , где . Так как
, то из грани куба выпирает пирамидальный кончик октаэдра, и выступает он на
высоту, равную . Объём одного такого кончика равен , а всего их торчит
штук, в сумме . Объём самого октаэдра легко посчитать, разбив его на кусочки, он
равен . Объём куба равен .
Сложа и вычтя эти значения в надлежащем порядке (объём куба - (объём октаэдра - объём
кончиков)), мы получим объём остатка от куба, и его отношение к объёму куба равно
Подставляя значение , получим , откуда берётся ответ.
Верный ответ