1. Олимпиады
  2. Ломоносов

Отборочный этап

11 класс

Отборочный этап

PDF
Задания, решения и критерии

Ломоносов, 2024, 7–8 классы, задача 3; 9 класс, задача 2; 10 класс, задача 3; 11 класс, задача 1

(10 баллов) Ровно в 8{:}00 от пристани A вниз по течению реки вышел катер и от пристани B, находящейся на расстоянии 72 км от A, навстречу ему с той же собственной скоростью вышел другой катер, а также отплыл плот. Второй катер, встретившись с первым, развернулся и догнал плот в 11{:}00. Найдите соб
Простая
Алгебра

Ломоносов, 2024, 11 класс, задача 3

(10 баллов) Иммануил открыл трёхмерный редактор Blender и создал в нём куб. Потом он поместил в центр каждой грани куба по точке и соединил их в октаэдр. Затем он увеличил полученный октаэдр в (6/5) раза (центр октаэдра остался на прежнем месте, октаэдр не поворачивался) и удалил из куба всё, что ок
Сложная
Стереометрия

Ломоносов, 2024, 11 класс, задача 5

(10 баллов) Вася нарисовал снеговика на новогоднем плакате. Снеговик состоит из трёх кругов, центры которых лежат на одной вертикальной прямой. Радиусы кругов (снизу вверх) равны 10, 7 и 5. Круги пересекаются под прямым углом, т. е. их касательные в точках пересечения перпендикулярны. На голове у сн
Простая
Планиметрия

Ломоносов, 2024, 11 класс, задача 6

(15 баллов) Какое наибольшее значение может иметь наименьший угол треугольника α, если его значение может меняться в пределах, заданных условием: √(2cos2α-2(sqrt3-1)sinα-(2-sqrt3)) ≥cos2α+3sinα-2. Ответ укажите в градусах.
Средняя
Планиметрия

Ломоносов, 2024, 11 класс, задача 7

(15 баллов) Найдите сумму всех значений x∈[0circ,10circ] в градусах, при каждом из которых выполнено равенство (4cos2x-1)(4cos23x-1)(4cos29x-1)(4cos227x-1) +sin281x+cos281x=0. Эту сумму запишите в виде frac mn, г
Сложная
Алгебра

Ломоносов, 2024, 11 класс, задача 8

(20 баллов) Решите систему Если решений бесконечно много в ответ впишите 0. Если решений нет, то тоже впишите 0. Если решений конечное количество, в ответ впишите сумму всех x, при необходимости округлив результат до сотых (если при разных y найдутся одинаковые x — складывайте повторы, слагаемых дол
Сложная
Алгебра

Ломоносов, 2024, 10 класс, задача 6; 11 класс, задача 2

(15 баллов — 10 класс; 10 баллов — 11 класс) |x+|x+|x||| · |||-y|-y|-y|=2023 в целых числах. В ответ впишите сумму |x|+|y| для той пары решений, для которых величина |x|+|y| минимальна.
Средняя
Алгебра

Ломоносов, 2024, 10 класс, задача 7; 11 класс, задача 4

(15 баллов — 10 класс; 10 баллов — 11 класс) Сумма первых n членов последовательности {an} определяется формулой Sn=3n-1-frac13. На сколько процентов 10-й член этой последовательности больше, чем пятый?
Простая
Алгебра

10 класс

Отборочный этап

PDF
Задания, решения и критерии

Ломоносов, 2024, 9 класс, задача 5; 10 класс, задача 1

(10 баллов) У Нади в аквариуме живут 5 рыбок. Каждый день в обед она насыпает им 30 граммов корма. Каждая рыбка съедает пропорциональное её весу количество корма, причём к вечеру масса каждой рыбки увеличивается на 0.1% от съеденного. Сегодня утром массы рыбок в граммах были таковы: (1, 3, 4, 6, 14)
Простая
Алгебра

Ломоносов, 2024, 9 класс, задача 1; 10 класс, задача 2

(10 баллов) (x+y/x-y) +(x-y/x+y) =5. Найдите (x2+y2/x2-y2) +(x2-y2/x2+y2).
Очень простая
Алгебра

Ломоносов, 2024, 7–8 классы, задача 3; 9 класс, задача 2; 10 класс, задача 3; 11 класс, задача 1

(10 баллов) Ровно в 8{:}00 от пристани A вниз по течению реки вышел катер и от пристани B, находящейся на расстоянии 72 км от A, навстречу ему с той же собственной скоростью вышел другой катер, а также отплыл плот. Второй катер, встретившись с первым, развернулся и догнал плот в 11{:}00. Найдите соб
Простая
Алгебра

Ломоносов, 2024, 10 класс, задача 4

(10 баллов) Найдите наименьшее значение выражения (a+2)(b+2)(c+2), если a,b,c — положительные числа, удовлетворяющие условию abc=1.
Простая
Алгебра

Ломоносов, 2024, 10 класс, задача 6; 11 класс, задача 2

(15 баллов — 10 класс; 10 баллов — 11 класс) |x+|x+|x||| · |||-y|-y|-y|=2023 в целых числах. В ответ впишите сумму |x|+|y| для той пары решений, для которых величина |x|+|y| минимальна.
Средняя
Алгебра

Ломоносов, 2024, 10 класс, задача 7; 11 класс, задача 4

(15 баллов — 10 класс; 10 баллов — 11 класс) Сумма первых n членов последовательности {an} определяется формулой Sn=3n-1-frac13. На сколько процентов 10-й член этой последовательности больше, чем пятый?
Простая
Алгебра

Ломоносов, 2024, 10 класс, задача 8

(20 баллов) Вася нарисовал снеговика на новогоднем плакате. Снеговик состоит из трёх кругов, центры которых лежат на одной вертикальной прямой. Радиусы кругов (снизу вверх) равны 10, 7 и 5. Круги пересекаются под прямым углом, т. е. их касательные в точках пересечения перпендикулярны. На голове у сн
Средняя
Планиметрия

Ломоносов, 2024, 9 класс, задача 7; 10 класс, задача 5

(15 баллов — 9 класс; 10 баллов — 10 класс) В ресторане «Обломов» выпекают 3 вида пирожков: с мясом, с рыбой, с грибами. Повар обратил внимание, что 25 ноября среди тех, кто заказывал по 4 пирожка, не повторился ни один набор пирожков. Какое максимальное количество посетителей «Обломова» могли заказ
Простая
Комбинаторика

9 класс

Отборочный этап

PDF
Задания, решения и критерии

Ломоносов, 2024, 9 класс, задача 1; 10 класс, задача 2

(10 баллов) (x+y/x-y) +(x-y/x+y) =5. Найдите (x2+y2/x2-y2) +(x2-y2/x2+y2).
Очень простая
Алгебра

Ломоносов, 2024, 7–8 классы, задача 3; 9 класс, задача 2; 10 класс, задача 3; 11 класс, задача 1

(10 баллов) Ровно в 8{:}00 от пристани A вниз по течению реки вышел катер и от пристани B, находящейся на расстоянии 72 км от A, навстречу ему с той же собственной скоростью вышел другой катер, а также отплыл плот. Второй катер, встретившись с первым, развернулся и догнал плот в 11{:}00. Найдите соб
Простая
Алгебра

Ломоносов, 2024, 9 класс, задача 5; 10 класс, задача 1

(10 баллов) У Нади в аквариуме живут 5 рыбок. Каждый день в обед она насыпает им 30 граммов корма. Каждая рыбка съедает пропорциональное её весу количество корма, причём к вечеру масса каждой рыбки увеличивается на 0.1% от съеденного. Сегодня утром массы рыбок в граммах были таковы: (1, 3, 4, 6, 14)
Простая
Алгебра

Ломоносов, 2024, 9 класс, задача 7; 10 класс, задача 5

(15 баллов — 9 класс; 10 баллов — 10 класс) В ресторане «Обломов» выпекают 3 вида пирожков: с мясом, с рыбой, с грибами. Повар обратил внимание, что 25 ноября среди тех, кто заказывал по 4 пирожка, не повторился ни один набор пирожков. Какое максимальное количество посетителей «Обломова» могли заказ
Простая
Комбинаторика

Ломоносов, 2024, 9 класс, задача 8

(20 баллов) Найдите наименьшее значение выражения (a+2)(b+2)(c+2), если a,b,c — положительные числа, удовлетворяющие условию abc=1.
Простая
Алгебра

Ломоносов, 2024, 7–8 классы, задача 5; 9 класс, задача 3

(15 баллов — 7–8 классы; 10 баллов — 9 класс) Пусть S(n) — сумма цифр натурального числа n. Решите уравнение n+4S(n)=2025. Если решений несколько, в ответе укажите наименьшее из них.
Средняя
Теория чисел

Ломоносов, 2024, 7–8 классы, задача 6; 9 класс, задача 4

(20 баллов — 7–8 классы; 10 баллов — 9 класс) Имеется набор из нескольких подряд идущих натуральных чисел. Известно, что их сумма в 30 раз больше минимального числа в наборе и в 20 раз больше максимального числа в наборе. Сколько чисел в этом наборе?
Простая
Теория чисел

Ломоносов, 2024, 7–8 классы, задача 7; 9 класс, задача 6

(20 баллов — 7–8 классы; 15 баллов — 9 класс) Найдите наименьшее возможное значение суммы 10 различных натуральных чисел, если известно, что она нечётна, а произведение любых 5 слагаемых в ней чётно.
Простая
Теория чисел

7–8 класс

Отборочный этап

PDF
Задания, решения и критерии

Ломоносов, 2024, 7-8 класс, задача 1

(10 баллов) На какое наибольшее число частей могут разбить пространство две поверхности, если одна из них — сфера, а другая — куб? Они могут располагаться как угодно и быть любых размеров.
Сложная
Стереометрия

Ломоносов, 2024, 7-8 класс, задача 2

(10 баллов) Найдите наименьшее четырёхзначное число, дающее остаток 3 при делении на 11, остаток 6 при делении на 15 и остаток 17 при делении на 26.
Сложная
Теория чисел

Ломоносов, 2024, 7–8 классы, задача 3; 9 класс, задача 2; 10 класс, задача 3; 11 класс, задача 1

(10 баллов) Ровно в 8{:}00 от пристани A вниз по течению реки вышел катер и от пристани B, находящейся на расстоянии 72 км от A, навстречу ему с той же собственной скоростью вышел другой катер, а также отплыл плот. Второй катер, встретившись с первым, развернулся и догнал плот в 11{:}00. Найдите соб
Простая
Алгебра

Ломоносов, 2024, 7-8 класс, задача 4

(15 баллов) Оля собирается в гости к подруге Маше к пяти часам вечера. Оля и Маша живут на одной стороне одной улицы: Оля — в 5 минутах ходьбы от ближайшей автобусной остановки, а Маша — в 6. Между их остановками есть ещё три остановки. Автобус ходит каждые 15 минут, и Оля рассчитала, что если она п
Средняя
Алгебра

Ломоносов, 2024, 7–8 классы, задача 5; 9 класс, задача 3

(15 баллов — 7–8 классы; 10 баллов — 9 класс) Пусть S(n) — сумма цифр натурального числа n. Решите уравнение n+4S(n)=2025. Если решений несколько, в ответе укажите наименьшее из них.
Средняя
Теория чисел

Ломоносов, 2024, 7–8 классы, задача 6; 9 класс, задача 4

(20 баллов — 7–8 классы; 10 баллов — 9 класс) Имеется набор из нескольких подряд идущих натуральных чисел. Известно, что их сумма в 30 раз больше минимального числа в наборе и в 20 раз больше максимального числа в наборе. Сколько чисел в этом наборе?
Простая
Теория чисел

Ломоносов, 2024, 7–8 классы, задача 7; 9 класс, задача 6

(20 баллов — 7–8 классы; 15 баллов — 9 класс) Найдите наименьшее возможное значение суммы 10 различных натуральных чисел, если известно, что она нечётна, а произведение любых 5 слагаемых в ней чётно.
Простая
Теория чисел