Ломоносов, 2024, 7-8 класс, задача 2

Сложная
Теория чисел
Источник:
Олимпиада «Ломоносов», Отборочный этап, 2024, 7–8 классы

( баллов) Найдите наименьшее четырёхзначное число, дающее остаток при делении на , остаток при делении на и остаток при делении на .

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ:

Решение. Для начала отметим, что , и попарно взаимно просты. ,
так что если мы найдём некое число , дающее такие остатки при делениях на , , ,
то () будут давать такие же остатки. (Пока мы не обращаем внимания на
количество знаков в числе). Если мы найдём хоть какое-нибудь число, дающее нужные остатки,
то найдём и остальные, вычитая/прибавляя .

Давайте искать в виде . В таком случае, учитывая остатки
от делений на , , , можно выписать следующие равенства: , , . Или же: , , . Нам
сгодятся любые целые числа, удовлетворяющие этим равенствам. Подбираем: (),
, . Тогда . Вычитая , получаем
другое число с такими остатками: . Других таких -хзначных чисел нет.

1

Верный ответ

10
Максимум: 10

Похожие задачи

Ломоносов, 2023, 7-8 класс, задача 6

(15 баллов) Космонавт, прилетевший на другую планету, узнал, что инопланетяне на ней измеряют возраст в килоднях (один килодень равен 1000 земных суток). Сколько полных земных лет было космонавту 26 ноября 2022 года, если по земному календарю он родился в полдень по московскому времени 23 сентября (
Сложная
Теория чисел

Ломоносов, 2021, 7–8 классы, задача 8; 9 класс, задача 9

(20 баллов — 7–8 классы; 15 баллов — 9 класс) Обозначим через A(n) наибольший нечётный делитель числа n. Например, A(21)=21, A(72)=9, A(64)=1. Найдите сумму A(111)+A(112)+ldots+A(218)+A(219).
Сложная
Теория чисел

Ломоносов, 2021, 9 класс, задача 7; 10–11 классы, задача 7

(10 баллов) Найдите все такие значения a, при каждом из которых уравнение x2+2ax=8a имеет два различных целых корня. В ответ запишите произведение всех таких a, при необходимости округлив до сотых.
Сложная
Теория чисел

Ломоносов, 2021, 7-8 класс, задача 6

(15 баллов) Найдите наименьшее натуральное число n, для которого число n+2018 делится на 2020, а число n+2020 делится на 2018.
Сложная
Теория чисел