Ломоносов, 2024, 7-8 класс, задача 2
( баллов) Найдите наименьшее четырёхзначное число, дающее остаток 3 при делении на 11, остаток 6 при делении на 15 и остаток 17 при делении на 26.
Ответ: 3501
Решение. Для начала отметим, что 11, 15 и 26 попарно взаимно просты. 11-15-26 = 4290,
так что если мы найдём некое число x, дающее такие остатки при делениях на 11, 15, 26,
то г + 4290 - & (& Е 7) будут давать такие же остатки. (Пока мы не обращаем внимания Ha
количество знаков в числе). Если мы найдём хоть какое-нибудь число, дающее нужные остатки,
то найдём и остальные, вычитая /прибавляя 4290.
Давайте искать Х в виде А. 15-26 + В 11.26 + С. 11-15. В таком случае, учитывая остатки
отделений на. 11, 15, 26, можно выписать следующие равенства: А. 15.26 = а: 11+-3, В 11-26 =
515+ 6,С. 11-15 = ¢-26 +17. Или же: 11-a = 390.4 — 3, 15-5 = 286 В — 6,26 -с = 165C — 17. Нам
сгодятся любые целые числа, удовлетворяющие этим равенствам. Подбираем: А = 5(а = 117),
В = 6,С = 25. Тогда Х = 5.15.26 + 6.11.26 + 25-11-15 = 7791. Вычитая 4290, получаем
другое число с такими остатками: 3501. Других таких 4-хзначных чисел HET.
Баллы за верный ответ на задание: 10.