Ломоносов, 2021, 7–8 классы, задача 8; 9 класс, задача 9

Сложная
Теория чисел
Источник:
Олимпиада «Ломоносов», Отборочный этап, 2021, 7–8 классыОлимпиада «Ломоносов», Отборочный этап, 2021, 9 класс

( баллов — 7–8 классы; баллов — 9 класс)

Обозначим через наибольший нечётный делитель числа . Например, , , . Найдите сумму .

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: .

Решение. Наибольшие нечётные делители никаких двух из данных чисел не могут совпасть, так как числа с одинаковыми наибольшими нечётными делителями либо равны, либо отличаются минимум в раза. Значит, наибольшие нечётные делители чисел отличаются друг от друга. Получается, что наибольшие нечётные делители чисел от до есть различных нечётных чисел, которые не превышают . Следовательно, это числа . Если к набору чисел добавить число , то искомая сумма будет равна

1

Верный ответ (7–8 класс)

20
2

Верный ответ (9 класс)

15
Максимум: 20

Похожие задачи

Ломоносов, 2021, 9 класс, задача 7; 10–11 классы, задача 7

(10 баллов) Найдите все такие значения a, при каждом из которых уравнение x2+2ax=8a имеет два различных целых корня. В ответ запишите произведение всех таких a, при необходимости округлив до сотых.
Сложная
Теория чисел

Ломоносов, 2021, 7-8 класс, задача 6

(15 баллов) Найдите наименьшее натуральное число n, для которого число n+2018 делится на 2020, а число n+2020 делится на 2018.
Сложная
Теория чисел

Ломоносов, 2023, 7-8 класс, задача 6

(15 баллов) Космонавт, прилетевший на другую планету, узнал, что инопланетяне на ней измеряют возраст в килоднях (один килодень равен 1000 земных суток). Сколько полных земных лет было космонавту 26 ноября 2022 года, если по земному календарю он родился в полдень по московскому времени 23 сентября (
Сложная
Теория чисел

Ломоносов, 2024, 7-8 класс, задача 2

(10 баллов) Найдите наименьшее четырёхзначное число, дающее остаток 3 при делении на 11, остаток 6 при делении на 15 и остаток 17 при делении на 26.
Сложная
Теория чисел