Ломоносов, 2024, 10 класс, задача 6
( баллов) Решите уравнение
ja + Ja + Jz] || = и — yl — yl = 2023.
в целых числах. В ответ впишите сумму |x| + |y| для той пары решений, для которых величина,
|| + |y| минимальна.
Ответ: 136
Решение. Для первого варианта: заметим, что 2023 = 7-172,
-
Если г 2 0, то первый множитель равен За и уравнение решений не имеет.
-
Если у < 0, то второй множитель равен —Зу и уравнение решений не имеет.
-
Пусть т < 0, у > 0. Уравнение примет вид —zy = 0, откуда возможны решения: © =
—1у = 2023, т = —Т;у = 289, 2 = —17; у = 119, г = —119; у = 17, x = —2023; у = 1.
min(|z| + |y|) = 17 + 119 = 136.
В других вариантах: 2024 = 23.11.23. Все решения: (—1; 2024), (—2; 1012), (—4; 506), (—8; 253),
(—11;184), (—22;92), (—44;46) и т.д. min(|z| + ||) = 44 + 46 = 90.
2021 = 43-47. Все решения: (—1; 2021), (—43; 47), (—47;43), (—2021; 1). min(|z|+|y|) = 43+47 =
90.
2030 = 2.5.7. 29. Bee решения: (—1;2030), (—2;1015), (—5;406), (—7:290), (—10;203),
(—14;145), (—29;70), (—35; 58), и т.д. min(|z| + |y|) = 35 + 58 = 93.
Баллы за верный ответ на задание: 15.