Ломоносов, 2024, 11 класс, задача 8
( баллов) Решите систему
—2 + бу = $ — ут + у,
а + ут + Зу + у = @ + Ту — 2.
Если решений бесконечно много в ответ впишите 0. Если решений нет, то тоже впишите 0.
Если решений конечное количество, в ответ впишите сумму всех т, при необходимости округлив результат до сотых (если при разных у найдутся одинаковые т — складывайте повторы,
слагаемых должно получиться столько же, сколько точек на плоскости подходит под систему).
Ответ: 20.89
Решение. Систему запишем в общем виде
Коэффициенты такие, что а +b = 5
Сделаем замену /Z — ау = t > 0. Тогда т = @ + ау. Первое уравнение системы примет вид
ay + бу? = 2 + ay — ty = > — ty — бу? = 0.
Рассматривая ero Kak квадратное уравнение относительно &, получаем & = —2y (у < 0) или
t=3y (у 2 0).
Второе уравнение после замены имеет вид
VE + ду +в = @ + (а + by — 2.
- Пусть t = —2y. Второе уравнение примет вид
УР = 4? + (a+ b)y — 2.
Тогда —2y = 4}? + 5у — 2 = 0 © 4}? + Ту — 2 = 0, откуда у = —2 или у = + (не подходит).
Следовательно, © = 16 — 2a.
2) Пусть t = Зу. Второе уравнение примет вид
/9у? +5y = 9? + 5у — 2 = (vy? + by + 1)(/9у? + 5y — 2) = 0,
откуда 9у? + 5y — 4 = 0. Следовательно, у = —1 (не подходит), у = 4 T= © + do =
Отметим, что совпадающих значений т He нашлось.
Числа в вариантах:
а = 1, 5 = 4 сумма= 13° ~ 16,22.
а = —2, Ь = 7, сумма= 8 ^ 20,89.
a=3,b=2, сумма= 2 ~ 13,11.
a=-3,b=8, сумма= 22 ~ 22 44.
4,b=1, сумма= №8 ~ 11,56.
—1, 5 = 6, сумма= 2 ~ 19,33.
16+4a
a
a
Баллы за верный ответ на задание: 20.