Ломоносов, 2021, 10-11 класс, задача 9

Сложная
Алгебра
Источник:
Олимпиада «Ломоносов», Отборочный этап, 2021, 10–11 классы

( баллов)

Дан многочлен степени со старшим коэффициентом . График целиком лежит выше оси . Многочлен разложили на неприводимые множители (то есть такие многочлены, которые не могут быть представлены в виде произведения двух непостоянных многочленов). Известно, что при все полученные неприводимые многочлены принимают значение . Найдите .

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: .

Решение. Заметим, что поскольку график целиком лежит выше оси , то у многочлена нет действительных корней. Это значит, что все неприводимые многочлены в разложении имеют степень , а их количество равно . Так как у многочлена будет такое же количество неприводимых многочленов в разложении, и все они принимают значение в точке , то . Отсюда .

1

Верный ответ

10
Максимум: 10

Похожие задачи

Ломоносов, 2022, 10 класс, задача 8

(15 баллов) Решите уравнение cos2 8xsin 2x+2cos2 x=1+√2. В ответе укажите сумму корней, принадлежащих отрезку [0;2π], при необходимости округлив ее до двух знаков после запятой.
Сложная
Алгебра

Ломоносов, 2024, 11 класс, задача 8

(20 баллов) Решите систему Если решений бесконечно много в ответ впишите 0. Если решений нет, то тоже впишите 0. Если решений конечное количество, в ответ впишите сумму всех x, при необходимости округлив результат до сотых (если при разных y найдутся одинаковые x — складывайте повторы, слагаемых дол
Сложная
Алгебра

Ломоносов, 2024, 11 класс, задача 7

(15 баллов) Найдите сумму всех значений x∈[0circ,10circ] в градусах, при каждом из которых выполнено равенство (4cos2x-1)(4cos23x-1)(4cos29x-1)(4cos227x-1) +sin281x+cos281x=0. Эту сумму запишите в виде frac mn, г
Сложная
Алгебра

Ломоносов, 2021, 7-8 класс, задача 3

(10 баллов) В то время, как на водопой отправился находящийся в 6 минутах от него один львёнок, второй, уже утолив жажду, по той же дороге направился обратно в 1,5 раза быстрее первого. В это же время по той же дороге на водопой отправилась черепаха, находившаяся в 32 минутах от него. Через какое-то
Сложная
Алгебра