Ломоносов, 2024, 11 класс, задача 7
( баллов) Найдите сумму всех значений г € [0°, 10°] в градусах, при каждом из которых выполнено равенство
(4 сов? г — 1) (4 сов? За — 1) (4 сов? 9x — 1) (4 сов? 27x — 1) + sin? 811: + сов? 812 = 0.
Эту сумму запишите в виде 7, где т, п взаимно простые натуральные числа. В ответе укажите
т + п.
Ответ: 950
Решение. Так как
Зыт г — 45% 2 | вт За
Асов? г — 1 = 3-45? д = == = В
sin sin
то исходное уравнение приводится к виду
sin За sin 9х sin 27x sin 81x
sinz sin3z sin 9х sin 27x
Отсюда sin Sle = —1, то есть sin 812 = sin(—z), и при этом sin # 0, так как для него значения
сов? г равны 1. Поэтому значения х в градусах равны 812 = —1 + 360k и 812 = 180 + x + 360n,
180k 9(1+2n)
то есть г = ~~ из = ро, где k # Ат, k,n, т Е Z. В заданный отрезок попадают значения
®, 0, 1 z В сумме это %, в ответ указываем 909 + 41 = 950.
Баллы за верный ответ на задание: 15.