Ломоносов, 2024, 11 класс, задача 6

Сложная
Планиметрия
Источник:
Олимпиада «Ломоносов», Отборочный этап, 2024, 11 класс

( баллов) Какое наибольшее значение может иметь наименьший угол треугольника @, если его
значение может меняться в пределах, заданных условием:

2 созда — 2(/3 — 1) вша — (2 — V3) > cos2a + sina — 2

Ответ укажите в градусах

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ: 30

Решение. Наименьший угол треугольника не может быть больше 60°. Воспользуемся формулой сов да = 1 — 2 sin? а, заменим sin а: = ¢. Тогда неравенство примет вид

уЗ — 48 —2(V3—1)t 2 3: = 20 — 1 = / (УЗ + 20)(1 — 28) > (1 = 20) — 1).

ОДЗ для переменной # — область -\8 < Е < i на этой области правая часть неравенства

отрицательна (исключая точку # = 3, где она равна нулю). Получается, что неравенство выполнено на всей ОДЗ, и # = sina < 3. Отсюда получаем максимальное значение в 30 градусов.

1

Баллы за верный ответ на задание: 15.

15
Максимум: 15

Похожие задачи

Ломоносов, 2024, 10 класс, задача 8

(20 баллов) Вася нарисовал снеговика на. новогоднем плакате. Снеговик состоит из трех кругов, центры которых лежат на одной вертикальной прямой. Радиусы кругов (снизу вверх) равны 10, 7 и 5. Круги пересекаются под прямым углом, т. ©. их касательные в точках пересечения перпендикулярны. На голове у с
Сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2024, 11 класс, задача 5

(10 баллов) Вася нарисовал снеговика на. новогоднем плакате. Снеговик состоит из трех кругов, центры которых лежат на одной вертикальной прямой. Радиусы кругов (снизу вверх) равны 10, 7 и 5. Круги пересекаются под прямым углом, т. ©. их касательные в точках пересечения перпендикулярны. На голове у с
Сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2024, 11 класс, задача 3

(10 баллов) Иммануил открыл трёхмерный редактор Blender и создал в нём куб. Потом он поместил в центр каждой грани куба по точке и соединил их в октаэдр. Затем он увеличил полученный октаэдр в (6/5) раза (центр октаэдра остался на прежнем месте, октаэдр не поворачивался) и удалил из куба всё, что ок
Сложная
Стереометрия

Ломоносов, 2024, 7-8 класс, задача 1

(10 баллов) На какое наибольшее число частей могут разбить пространство две поверхности, если одна из них — сфера, а другая — куб? Они могут располагаться как угодно и быть любых размеров.
Сложная
Стереометрия