Ломоносов, 2022, 10 класс, задача 9; 11 класс, задача 10

Очень сложная
Алгебра
Источник:
Олимпиада «Ломоносов», Отборочный этап, 2022, 10 классОлимпиада «Ломоносов», Отборочный этап, 2022, 11 класс

( баллов — 10 класс; баллов — 11 класс)

Пусть — наибольший корень многочлена . Найти остаток от деления целой части числа на . Целая часть числа — это наибольшее целое число, не превосходящее числа .

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: .

Решение. Заметим, что

Следовательно, кубический многочлен имеет три вещественных корня , причём , , (). Для каждого целого неотрицательного определим число . Очевидно, что , далее из теоремы Виета следует, что ,

Если равенства умножить соответственно на при и сложить, то получим:

т. е. имеет место рекуррентное соотношение

Очевидно, что .

Далее рассмотрим остатки последовательности при делении на . Последовательность остатков имеет цикл длины :

Так как , то . Поэтому .

1

Верный ответ (10 класс)

15
2

Верный ответ (11 класс)

10
Максимум: 15

Похожие задачи

Ломоносов, 2021, 10-11 класс, задача 10

(10 баллов) Множество A на плоскости Oxy задается уравнением x2+y2=2x+2y+23. Множество B на той же плоскости задается уравнением |x-1|+|y-1|=5. Множество C — пересечение множеств A и B. Какое наибольшее значение может принимать произведение длин n отрезков XY1 · XY
Очень сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2022, 7–8 классы, задача 7; 9 класс, задача 5; 10 класс, задача 2

(20 баллов — 7–8 классы; 10 баллов — 9–10 классы) В параллелограмме ABCD точки E и F — середины сторон AD и CD соответственно. Пусть G и H — точки пересечения отрезков BE и BF соответственно с диагональю AC параллелограмма. Найдите площадь четырёхугольника GHFE, если площадь параллелограмма ABCD рав
Сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2020, 9 класс, задача 10

(12 баллов) Найдите наименьшее значение функции f(x)=x2+3x+frac6x+frac4{x2}-1 на луче x>0.
Сложная
Алгебра

Ломоносов, 2022, 9 класс, задача 2

(10 баллов) Первые 2023 натуральных чисел выписаны в ряд в некотором порядке. Вычисляют 2021 сумму стоящих подряд трех чисел из этого ряда. Какое максимальное количество из этих сумм может быть нечетным?
Сложная
Комбинаторика