Ломоносов, 2022, отборочный этап, 10 класс, задача 9; 11 класс, задача 10
( баллов — 10 класс; баллов — 11 класс)
Пусть — наибольший корень многочлена . Найти остаток от деления целой части числа на . Целая часть числа — это наибольшее целое число, не превосходящее числа .
Ответ
Ответ: .
Решение. Заметим, что
Следовательно, кубический многочлен имеет три вещественных корня , причём , , (). Для каждого целого неотрицательного определим число . Очевидно, что , далее из теоремы Виета следует, что ,
Если равенства умножить соответственно на при и сложить, то получим:
т. е. имеет место рекуррентное соотношение
Очевидно, что .
Далее рассмотрим остатки последовательности при делении на . Последовательность остатков имеет цикл длины :
Так как , то . Поэтому .