Ломоносов, 2021, 10-11 класс, задача 10
( баллов)
Множество на плоскости задается уравнением . Множество на той же плоскости задается уравнением . Множество — пересечение множеств и . Какое наибольшее значение может принимать произведение длин отрезков , где точка — произвольно выбранная точка из множества , а точки — все элементы множества .
Ответ
Ответ: .
Решение. Множество есть , то есть это окружность с центром и радиусом . Множество есть квадрат с вершинами , , , . Центр квадрата — точка , диагонали квадрата равны , стороны равны . Множество состоит из -х точек на окружности: , , , , они же вершины вписанного квадрата. Обозначим их . Если теперь взять точку на дуге (для определённости), обозначить расстояние от до прямой через , и учесть, что , то получим:
Аналогично . Тогда
Максимум этой квадратичной функции достигается при и равен . Заметим, что это означает, что точка находится в середине дуги (или любой из трех остальных дуг).
Верный ответ