Ломоносов, 2022, 11 класс, задача 9

Ответ: .

Решение. Сначала решим неравенство. Заметим, что в левой части стоит убывающая функция , определённая при , а в правой части — функция , возрастающая при и убывающая при . При этом , . Отcюда ясно, что при неравенство не выполнено. В силу выпуклости функции оно также не выполнено при , а при — выполнено, поскольку на промежутке имеем и . Таким образом, множество решений неравенства имеет вид .

Уравнение преобразуем к виду . На множестве решений неравенства имеем , поэтому первый сомножитель в левой части уравнения всегда не меньше . Поскольку при всех значениях , второй сомножитель в левой части уравнения также всегда не меньше . Значит, равенство возможно только при , откуда (это значение также удовлетворяет неравенству) и или . Выражение на решениях системы принимает минимальное значение при и и в этом случае равно .