Ломоносов, 2023, 7-8 класс, задача 5

Простая

Источник:

Олимпиада «Ломоносов», Отборочный этап, 2023, 7–8 классы

( баллов)

Дан прямоугольник длины и ширины . Вокруг него описан квадрат, т.е. нарисован квадрат такой, что разные вершины прямоугольника лежат на разных сторонах квадрата. Стороны прямоугольника образуют углы по со сторонами квадрата. Найти площадь квадрата.

Ответ

Ответ:

Решение. Решим задачу в общем виде. Пусть квадрат , а прямоугольник , причём точка лежит на , — на , — на , — на , , . Из того, что , получаем равнобедренность треугольников , в них , , по теореме Пифагора в них , , тогда , , , , , а площадь квадрата .

Отметим, что стороны прямоугольника, вписанного в квадрат, всегда образуют со сторонами этого квадрата углы по — это условие задачи избыточно и дано только для упрощения рассуждений.

Верный ответ

Максимум: 15

Похожие задачи

Ломоносов, 2020, 9 класс, задача 2

(2 баллов) На стороне BC треугольника ABC выбрана точка D так, что angle BAD=50^circ, angle CAD=20^circ и AD=BD. Найдите cosangle C.

Простая

Планиметрия

Ломоносов, 2022, 7-8 класс, задача 5

(15 баллов) На рисунке изображено 7 прямых, среди которых три параллельных и ещё две параллельных. Никакие три прямые не пересекаются в одной точке. Сколько существует треугольников, все стороны каждого из которых лежат на этих прямых? Семь прямых

Простая

Планиметрия

Ломоносов, 2024, 11 класс, задача 5

(10 баллов) Вася нарисовал снеговика на новогоднем плакате. Снеговик состоит из трёх кругов, центры которых лежат на одной вертикальной прямой. Радиусы кругов (снизу вверх) равны 10, 7 и 5. Круги пересекаются под прямым углом, т. е. их касательные в точках пересечения перпендикулярны. На голове у сн

Простая

Планиметрия

Ломоносов, 2021, 10-11 класс, задача 5

(10 баллов) Отрезки двух прямых, заключённые между двумя параллельными плоскостями, относятся как 5:9, а острые углы между этими прямыми и одной из плоскостей — соответственно как 2:1. Найдите косинус меньшего из углов.

Простая

Стереометрия