Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 3; 11 класс, задача 3

Простая
Алгебра
Источник:
Олимпиада «Ломоносов», Отборочный этап, 2023, 10 классОлимпиада «Ломоносов», Отборочный этап, 2023, 11 класс

( баллов)

Найти площадь выпуклого многоугольника, координаты вершин которого суть решения системы уравнений:

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ:

Решение. Левая часть первого уравнения раскладывается на множители:

Во втором уравнении после переноса всех слагаемых в левую часть также можно разложить левую часть на множители:

Таким образом, решениями системы будут координаты точек пересечения графиков соответствующих линейных функций (см. рисунок). Четырёхугольник — прямоугольник, так как его стороны лежат на взаимно перпендикулярных прямых. Длины сторон легко определяются по теореме Пифагора:

Таким образом, площадь четырёхугольника равна .

Графики линейных функций

1

Верный ответ

10
Максимум: 10

Похожие задачи

Ломоносов, 2022, 10 класс, задача 3

(10 баллов) Пусть (a,b) — точка на графике функции y=x+frac1x, ближайшая к началу координат. Найдите (b-a)20.
Простая
Алгебра

Ломоносов, 2024, 10 класс, задача 7; 11 класс, задача 4

(15 баллов — 10 класс; 10 баллов — 11 класс) Сумма первых n членов последовательности {an} определяется формулой Sn=3n-1-frac13. На сколько процентов 10-й член этой последовательности больше, чем пятый?
Простая
Алгебра

Ломоносов, 2022, 7-8 класс, задача 3

(10 баллов) Дорога из пункта A в пункт B длиной 11,5 км состоит из трёх участков: в гору, по равнине и под гору. Пешеход идёт в гору со скоростью 3 км/ч, по равнине — со скоростью 4 км/ч, под гору — со скоростью 5 км/ч. Известно, что на дорогу из A в B он потратил 2 ч 54 мин, а на обратный путь — 3
Простая
Алгебра

Ломоносов, 2022, 9 класс, задача 6; 10 класс, задача 4

(15 баллов — 9 класс; 10 баллов — 10 класс) Решите систему уравнений В ответе укажите минимальное значение y, являющееся решением системы, при необходимости округлив его до двух знаков после запятой.
Простая
Алгебра