Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 4

Даны два прямых круговых конуса, основания которых — концентрические круги, расположенные в плоскости . Известно, что конусы расположены по одну сторону от плоскости , их объёмы равны , а отношение радиусов оснований равно . Найдите объём общей части конусов. Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

Ответ

Ответ. .

Решение. Так как объёмы конусов равны, и отношение радиусов оснований равно , то отношение высот конусов равно . Пусть — центр основания конусов, и — их вершины (притом ). Пусть и — образующие конусов, пересекающиеся в точке . По теореме Менелая для треугольника и секущей

По теореме Менелая для треугольника и секущей

Тогда искомый объём равен

Похожие задачи

Физтех 2023, отборочный этап, 10 класс, третий тур, задача 5

На декартовой плоскости имеется квадратный бильярдный стол с вершинами в точках (0;0), (0;10), (10;0) и (10;10) и шар в точке (3;4). Шар при ударе по нему попал в нижнюю правую лузу (точка (10;0)), отскочив сначала от верхнего борта, потом от правого, далее от нижнего, потом от левого и, наконец, сн

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 4

Треугольник ABC вписан в окружность радиуса R, а P — точка пересечения его биссектрис. Известно, что площадь треугольника APC и площадь четырёхугольника PFBE равны (см. рисунок). Найдите наибольшее значение произведения AB · BC, если angle ABC=β. Рисунок к условию

Средняя

Планиметрия

Физтех 2023, отборочный этап, 11 класс, четвёртый тур, задача 5

На трёх параллельных прямых ell₁, ell₂, ell₃ взяты точки A₁, A₂, A₃ соответственно. а) Треугольник A₁A₂A₃ равнобедренный. Известно, что расстояние между прямыми ell₁ и ell₂ равно

Средняя

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 6

В треугольнике ABC со стороной BC=3√(193) ортогональные проекции медианы BM на прямые AB и AC равны и имеют длину 25,2. Найдите длину биссектрисы AL треугольника ABC.

Средняя

Планиметрия