Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 6

В треугольнике со стороной ортогональные проекции медианы на прямые и равны и имеют длину . Найдите длину биссектрисы треугольника .

Ответ

Ответ. .

Решение. Поскольку проекции отрезка на прямые и равны, этот отрезок образует равные углы с прямыми. Обозначим , . У треугольника два угла равны, значит, он равнобедренный, следовательно, , .

Далее находим: , проекция на сторону равна . Из условия получаем, что , поэтому

Кроме того, по теореме косинусов для треугольника имеем равенство

то есть . Подставляя сюда найденное выше значение , получаем квадратное уравнение относительно , имеющее единственный положительный корень . Тогда , .

Искомая биссектриса находится по формуле

Похожие задачи

Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 1

В треугольнике на приведённом чертеже площади triangle ADE и triangle BFE равны 4, а площадь triangle FDE равна 2. Найдите площадь triangle CDF. Рисунок к условию

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 6

Сколько существует таких прямоугольных треугольников ABC, что в них высота CD, проведённая из вершины прямого угла, связана с гипотенузой AB соотношением 2DC+2=AB, отрезки CD, AD и BD имеют целочисленные длины, а длина гипотенузы AB лежит в промежутке [10,1000]?

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 1

Две окружности ω₁ и ω₂ равного радиуса 10 пересекаются в точках B и C. На окружности ω₁ выбрана точка A, которая не лежит внутри ω₂. Луч AB пересекает ω₂ в точке D, причём B лежит на отрезке AD. Точка E симметрична точке D относительно точки C.

Средняя

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 5

Окружность с центром I вписана в треугольник ABC и касается его стороны BC в точке D. Пусть E — середина BC, а точка F взята на стороне AC так, что BFperp AI. Найдите длину отрезка CF, если AB=20, BC=16, DE=2.

Средняя

Планиметрия