Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 6

Сколько существует таких прямоугольных треугольников , что в них высота , проведённая из вершины прямого угла, связана с гипотенузой соотношением

отрезки , и имеют целочисленные длины, а длина гипотенузы лежит в промежутке ?

Ответ

Ответ. .

Решение. Пусть — середина . Тогда , а . Из условия длина гипотенузы есть чётное число, поэтому . Тогда

Заметим, что в треугольнике гипотенуза равна , а катет , откуда . Это натуральное число, поэтому для некоторого натурального . Поскольку натуральное, нечётно. Значит,

Длина гипотенузы . Остаётся найти количество значений , попадающих в промежуток , — таких значений .

Похожие задачи

Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 5

Биссектрисы прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой AC пересекаются в точке P. Окружность с диаметром BP пересекает катеты AB и BC в точках K и M соответственно. Прямые KP и MP пересекают гипотенузу в точках E и T соответственно. Найдите площадь четырёхугольника KBMP, если PT=3, EP=4.

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 7

В остроугольном треугольнике ABC проведена высота CH, а затем на отрезке CH как на диаметре построена окружность. Точки M, N и P отмечены, как показано на рисунке. Найдите отношение BH:CH, если (MP · NP):CP²=0,75 и AH:CH=0,5. Рисунок к условию

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 3

В остроугольном треугольнике a, b, c — длины сторон, а α, β, γ — соответственно противолежащие им углы. Какое наибольшее значение может принимать выражение a(b²+c²)cosα+b(c²+a²)cosβ+c(a²+b²)cosγ, если известно, что abc=2?

Средняя

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 4

Найдите максимальное значение отношения dfrac xy, если 90-12y+y²-16x+x²=0.

Средняя

Планиметрия