Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 5
Биссектрисы прямоугольного треугольника с гипотенузой пересекаются в точке . Окружность с диаметром пересекает катеты и в точках и соответственно. Прямые и пересекают гипотенузу в точках и соответственно. Найдите площадь четырёхугольника , если , .
Ответ
Ответ. .
Решение. Углы и — прямые, так как вписаны в окружность и опираются на её диаметр . Значит, в четырёхугольнике три прямых угла, и он прямоугольник. Диагональ этого четырёхугольника является биссектрисой его угла , поэтому он является квадратом. Заметим также, что , .
Пусть — биссектриса треугольника . Так как биссектриса делит противоположную сторону пропорционально двум другим сторонам,
Подставляя выражение для из в , получаем . Поскольку треугольники и подобны, отсюда следует, что
Известно, что если стороны треугольника равны и , а угол между ними равен , его биссектриса, проведённая из вершины этого угла, определяется формулой . Следовательно, . Но тогда
Значит, площадь квадрата есть