Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 3

В остроугольном треугольнике , , — длины сторон, а , , — соответственно противолежащие им углы. Какое наибольшее значение может принимать выражение

если известно, что ?

Ответ

Ответ. .

Решение. Обозначим данное выражение за . Тогда, трижды используя теорему косинусов для исходного треугольника, перепишем в следующем виде:

Заметим, что первое произведение можно преобразовать следующим образом:

После аналогичного преобразования второго и третьего произведения в получаем, что . Поэтому исходное выражение равно .

Похожие задачи

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 5

На сторонах параллелограмма ABCD отмечены точки E, F, G, H, K и L, как показано на рисунке. Петя соединил некоторые из точек отрезками и раскрасил полученные многоугольники в шахматном порядке. После этого он написал на всех закрашенных многоугольниках, кроме одного, их площади x₁,ldots,x

Средняя

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 4

Точка E лежит на стороне AB прямоугольника ABCD, и при этом angle CED=90^circ. Точки O, P, Q являются центрами окружностей, описанных около треугольников ADE, BCE, CDE соответственно. Найдите площадь прямоугольника ABCD, если OQ=20, OP=29.

Средняя

Планиметрия

Физтех 2023, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 4

Окружности Ω и ω радиусов 5 и 4 соответственно касаются друг друга внешним образом в точке T. Прямая ell пересекает окружность ω в точках A и B, а окружность Ω — в точках C и D, причём B лежит между A и C, C лежит между B и D, а центры окружностей лежат по одну сторону от ell. Известно, что AB:BC:CD

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 10

Квадрат ABCD вписан в окружность с центром O, точка M — середина его стороны AB. На чертеже отметили точки N и K. Вычислите площадь квадрата ABCD, если расстояние OK=L. Рисунок к условию

Средняя

Планиметрия