Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 10

Квадрат вписан в окружность с центром , точка — середина его стороны . На чертеже отметили точки и . Вычислите площадь квадрата , если расстояние .

Рисунок к условию

Ответ

Ответ. .

Решение. Пусть — сторона квадрата. Найдём, в каком отношении точка делит сторону . По теореме Пифагора длина равна . Тогда из равенства произведений отрезков хорд

следует, что . Треугольники и подобны с коэффициентом

откуда . Итак, точка делит сторону в отношении , считая от вершины . Запишем равенство произведения отрезков хорд и :

Отсюда площадь квадрата равна .

Похожие задачи

Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 7

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ω, а его диагональ AC — биссектриса угла BAD. Найдите радиус окружности ω, если AB=dfrac{√2}{2}, AC=dfrac32, AD=dfrac5{2√2}. Ответ округлите до третьего знака после запятой.

Средняя

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 5

Расстояние между центрами двух квадратов со стороной 1 равно 0,8, а одна из сторон первого квадрата параллельна одной из сторон второго. Какую наименьшую площадь может иметь их общая часть?

Средняя

Планиметрия

Физтех 2023, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 4

Окружности Ω и ω радиусов 5 и 4 соответственно касаются друг друга внешним образом в точке T. Прямая ell пересекает окружность ω в точках A и B, а окружность Ω — в точках C и D, причём B лежит между A и C, C лежит между B и D, а центры окружностей лежат по одну сторону от ell. Известно, что AB:BC:CD

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 3

Отрезки AZ и CX — биссектрисы треугольника ABC, а Y — их точка пересечения. Найдите длину стороны AC этого треугольника, если angle ABY=α, площадь треугольника ABC равна S, а площади треугольников ABZ и ACX равны.

Средняя

Планиметрия