Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 7

Четырёхугольник вписан в окружность , а его диагональ — биссектриса угла . Найдите радиус окружности , если , , . Ответ округлите до третьего знака после запятой.

Ответ

Ответ. .

Решение. Пусть , , , , . Биссектриса делит дугу пополам, поэтому . По теореме косинусов для треугольников и

По теореме синусов для треугольника искомый радиус равен

Похожие задачи

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 2

Петя нарисовал на плоскости прямоугольный треугольник ABC с катетами AB=√3, AC=4. Вася последовательно передвигает сначала точку A вдоль прямой, параллельной BC, затем точку B вдоль прямой, параллельной (новой) AC, а затем C вдоль прямой, параллельной (новой) прямой AB. Обозначим полученный Васей тр

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 6

Сколько существует таких прямоугольных треугольников ABC, что в них высота CD, проведённая из вершины прямого угла, связана с гипотенузой AB соотношением 2DC+2=AB, отрезки CD, AD и BD имеют целочисленные длины, а длина гипотенузы AB лежит в промежутке [10,1000]?

Средняя

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 4

Даны два прямых круговых конуса, основания которых — концентрические круги, расположенные в плоскости α. Известно, что конусы расположены по одну сторону от плоскости α, их объёмы равны 1, а отношение радиусов оснований равно 3. Найдите объём общей части конусов. Ответ округлите до четырёх знаков по

Средняя

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 4

Точка E лежит на стороне AB прямоугольника ABCD, и при этом angle CED=90^circ. Точки O, P, Q являются центрами окружностей, описанных около треугольников ADE, BCE, CDE соответственно. Найдите площадь прямоугольника ABCD, если OQ=20, OP=29.

Средняя

Планиметрия