Физтех 2025, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 4

Точка лежит на стороне прямоугольника , и при этом . Точки , , являются центрами окружностей, описанных около треугольников , , соответственно. Найдите площадь прямоугольника , если , .

Ответ

Ответ. .

Решение. Треугольники , , прямоугольные, поэтому центры их описанных окружностей — середины их гипотенуз, то есть отрезков , , . Значит, и — средние линии треугольника , значит, , . Но тогда

Похожие задачи

Физтех 2025, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 5

Окружность с центром I вписана в треугольник ABC и касается его стороны BC в точке D. Пусть E — середина BC, а точка F взята на стороне AC так, что BFperp AI. Найдите длину отрезка CF, если AB=20, BC=16, DE=2.

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 5

Трапеция ABCD с основаниями AD=8, BC=6 вписана в окружность. Хорда EF окружности, содержащая среднюю линию трапеции, имеет длину 3√(11). Какую длину имеет хорда PQ, параллельная EF, проходящая через точку S на стороне AB такую, что AS:BS=4:3? В ответ напишите квадрат искомой величины.

Средняя

Планиметрия

Физтех 2023, отборочный этап, 10 класс, четвёртый тур, задача 5

На трёх параллельных прямых ell₁, ell₂, ell₃ взяты точки A₁, A₂, A₃ соответственно, и при этом A₁A₂=A₁A₃. Известно, что расстояние между прямыми ell₁ и ell₂ равно 5, ра

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 6

Сколько существует таких прямоугольных треугольников ABC, что в них высота CD, проведённая из вершины прямого угла, связана с гипотенузой AB соотношением 2DC+2=AB, отрезки CD, AD и BD имеют целочисленные длины, а длина гипотенузы AB лежит в промежутке [10,1000]?

Средняя

Планиметрия