Физтех 2026, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 3

Отрезки и — биссектрисы треугольника , а — их точка пересечения. Найдите длину стороны этого треугольника, если , площадь треугольника равна , а площади треугольников и равны.

Ответ

Ответ. .

Решение. Пусть , , . По теореме о биссектрисе , откуда

Аналогично . Тогда , откуда . Площадь треугольника равна

откуда

Похожие задачи

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 9

В пирамиду SABC вписан прямой круговой цилиндр так, что одно основание (с центром O) лежит в треугольнике ABC, а другое касается граней SAB, SAC и SBC. Высота пирамиды SH вдвое больше высоты цилиндра. Пусть M — геометрическое место точек H, а N — геометрическое место точек O. Найдите площадь M, если

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 8

На приведённом чертеже ABCD — прямоугольная трапеция, основания BC и AD которой равны a и b соответственно, а O — центр окружности, касающейся стороны CD. Найдите расстояние между точками X и Y. Рисунок к условию

Средняя

Планиметрия

Физтех 2023, отборочный этап, 9 класс, третий тур, задача 1

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при вершине B проведены биссектрисы AP и CQ. Точки M и N — проекции точек Q и P на сторону AC соответственно. Найдите MN, если расстояние от вершины B до центра окружности, вписанной в треугольник ABC, равно 17√2.

Средняя

Планиметрия

Физтех 2023, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 2

Точка F лежит на катете KP прямоугольного треугольника KPM, периметр которого равен 45. Окружность радиуса 5 с центром в точке F касается гипотенузы PM и катета KM. Найдите все возможные значения KM. Если их несколько, запишите в ответе их сумму.

Средняя

Планиметрия