Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 9
В пирамиду вписан прямой круговой цилиндр так, что одно основание (с центром ) лежит в треугольнике , а другое касается граней , и . Высота пирамиды вдвое больше высоты цилиндра. Пусть — геометрическое место точек , а — геометрическое место точек . Найдите площадь , если площадь равна .
Ответ
Ответ. .
Решение. содержит всевозможные проекции вершин на плоскость для всех пирамид, для которых вписание указанного цилиндра возможно. Для того, чтобы можно было вписать такой цилиндр в пирамиду, необходимо и достаточно, чтобы вершина проектировалась во внутреннюю часть треугольника , поэтому .
Далее заметим, что плоскость верхнего основания цилиндра переводится в плоскость гомотетией с центром и коэффициентом , причём верхнее основание цилиндра при указанной гомотетии переходит во вписанную окружность треугольника , поэтому радиус цилиндра равен половине радиуса этой окружности.
Множество состоит из всевозможных проекций центров верхнего основания цилиндра на плоскость основания, когда пробегает всевозможные точки, проектируемые во внутреннюю часть треугольника . Точка лежит в в том и только том случае, когда она лежит внутри треугольника , а расстояние от неё до любой из сторон не меньше радиуса цилиндра. Тем самым есть треугольник, подобный с коэффициентом , его площадь равна .