Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 9

На стороне треугольника отмечены точки и , а на меньшей дуге его описанной окружности отмечены точки и так, что указанные на чертеже штрихами дуги и отрезки равны. Лучи и пересекаются в точке . Найдите угол , если угол равен .

Рисунок к условию

Ответ

Ответ. .

Решение. Пусть — центр окружности. Заметим, что , поскольку дуги и равны. Покажем, что перпендикулярна и . Пусть лучи и пересекаются в точке . Тогда, поскольку — медиана треугольника , — медиана треугольника , то есть . Поскольку в треугольнике медиана равна , этот треугольник прямоугольный.

Поскольку , а , угол равен центральному углу . А угол опирается на втрое большую дугу , поэтому .

Похожие задачи

Физтех 2025, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 4

Найдите максимальное значение отношения dfrac xy, если 90-12y+y²-16x+x²=0.

Средняя

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 4

Точка E лежит на стороне AB прямоугольника ABCD, и при этом angle CED=90^circ. Точки O, P, Q являются центрами окружностей, описанных около треугольников ADE, BCE, CDE соответственно. Найдите площадь прямоугольника ABCD, если OQ=20, OP=29.

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 3

В остроугольном треугольнике a, b, c — длины сторон, а α, β, γ — соответственно противолежащие им углы. Какое наибольшее значение может принимать выражение a(b²+c²)cosα+b(c²+a²)cosβ+c(a²+b²)cosγ, если известно, что abc=2?

Средняя

Планиметрия

Физтех 2026, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 9

В пирамиду SABC вписан прямой круговой цилиндр так, что одно основание (с центром O) лежит в треугольнике ABC, а другое касается граней SAB, SAC и SBC. Высота пирамиды SH вдвое больше высоты цилиндра. Пусть M — геометрическое место точек H, а N — геометрическое место точек O. Найдите площадь M, если

Средняя

Планиметрия