Физтех 2025, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 4

Найдите максимальное значение отношения , если

Ответ

Ответ. .

Решение. Данное в условии уравнение задаёт окружность с центром и радиусом .

Пусть — касательная к указанной окружности с наименьшим положительным угловым коэффициентом. Тогда требуемое максимальное значение есть . Нетрудно получить, что искомой касательной является прямая , поэтому максимальное значение отношения равно .

Похожие задачи

Физтех 2023, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 2

Точка F лежит на катете KP прямоугольного треугольника KPM, периметр которого равен 45. Окружность радиуса 5 с центром в точке F касается гипотенузы PM и катета KM. Найдите все возможные значения KM. Если их несколько, запишите в ответе их сумму.

Средняя

Планиметрия

Физтех 2024, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 6

Диагонали трапеции ABCD (ADparallel BC) пересекаются в точке O. Известно, что OB=15, OC=12, OD=25, CD=√(769). Найдите AB.

Средняя

Планиметрия

Физтех 2023, отборочный этап, 10 класс, третий тур, задача 3

Прямоугольный треугольник ABC (angle A=90^circ) с катетами 51 и 70 вписан в окружность Γ. Пусть E и F — середины меньших дуг AB и AC описанной окружности. Вычислите длину части отрезка EF, попавшей внутрь треугольника ABC. Ответ округлите до сотых.

Средняя

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 5

Биссектрисы прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой AC пересекаются в точке P. Окружность с диаметром BP пересекает катеты AB и BC в точках K и M соответственно. Прямые KP и MP пересекают гипотенузу в точках E и T соответственно. Найдите площадь четырёхугольника KBMP, если PT=3, EP=4.

Средняя

Планиметрия